连续时间LTI系统的响应.pdf

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1、连续时间LTI系统的响应•经典时域分析方法•卷积法•零输入响应求解•零状态响应求解系统响应求解方法1.经典时域分析方法:求解微分方程2.卷积法:系统完全响应=零输入响应+零状态响应y(t)yx(t)yf(t)yx(t)f(t)*h(t)•求解齐次微分方程得到零输入响应•利用卷积积分可求出零状态响应一、经典时域分析方法微分方程的全解即系统的完全响应,由齐次解yh(t)和特解yp(t)组成y(t)y(t)y(t)hp齐次解yh(t)的形式由齐次方程的特征根确定特解yp(t)的形式由方程右边激励信号的形式确定齐次解yh(t)的形式(1)特征根是不等实根s1,s2,,sn

2、y(t)Kes1tKes2tKesnth12n(2)特征根是相等实根s=s==s12nststn1sty(t)KeKteKteh12n(3)特征根是成对共轭复根sj,in/2iiiy(t)e1t(KcostKsint)eit(KcostKsint)h1111iiii常用激励信号对应的特解形式输入信号特解KAKtA+Bt-at-atKe(特征根sa)Ae-at-atKe(特征根s=a)AteKsin0t或Kcos0tAsin0t+Bcos0t-at-at-at-atKesin0t或Kecos0tAesin

3、0t+Becos0t例1已知某二阶线性时不变连续时间系统的动态方程y"(t)6y'(t)8y(t)f(t),t0初始条件y(0)=1,y’(0)=2,输入信号f(t)=etu(t)，求系统的完全响应y(t)。解(1)求齐次方程y''(t)+6y'(t)+8y(t)=0的齐次解yh(t)2特征方程为s6s80特征根为s2，s412齐次解yh(t)—2t—3ty(t)KeKeh122)求非齐次方程y‘’(t)+6y‘(t)+8y(t)=f(t)的特解yp(t)由输入f(t)的形式，设方程的特解为y(t)=Ce-tp将特解带入原微分方程即可求得常数C=

4、1/3。3)求方程的全解2t4t1ty(t)y(t)y(t)AeBeehp31y(0)AB13解得A=5/2，B=11/61y'(0)2A4B2352t114t1ty(t)eee,t0263讨论1)若初始条件不变，输入信号f(t)=sintu(t)，则系统的完全响应y(t)=？2)若输入信号不变，初始条件y(0)=0,y’(0)=1,则系统的完全响应y(t)=？经典法不足之处•若微分方程右边激励项较复杂，则难以处理。•若激励信号发生变化，则须全部重新求解。•若初始条件发生变化，则须全部重新求解。•这种方法是一种纯数学方法，无法突

5、出系统响应的物理概念。二卷积法系统完全响应=零输入响应+零状态响应1.系统的零输入响应是输入信号为零，仅由系统的初始状态单独作用而产生的输出响应。数学模型:(n)(n1)y(t)ay(t)ay(t)ay(t)0n110求解方法：•根据微分方程的特征根确定零输入响应的形式，•再由初始条件确定待定系数。例2已知某线性时不变系统的动态方程式为:2dydy56y(t)4f(t)t02dtdt系统的初始状态为y(0)=1，y'(0)=3，求系统的零输入响应yx(t)。2[解]系统的特征方程为s5s60系统的特征根为s12，s23—2t—3ty(t

6、)KeKex12y(0)=yx(0)=K1+K2=1y'(0)=y'(0)=2K3K=3解得K1=6，K2=5x12—2t—3ty(t)6e5e,t0x例3已知某线性时不变系统的动态方程式为2dydydf44y(t)23f(t)2dtdtdt系统的初始状态为y(0)=2，y'(0)=1，求系统的零输入响应y(t)。x2[解]系统的特征方程为s4s40系统的特征根为ss2（两相等实根）12—2t—2ty(t)KeKtex12y(0)=y(0)=K=1;x1解得K1=1,K2=5y'(0)=y'x(0)=2K1+K2=

7、32t2ty(t)e5te,t0x例4已知某线性时不变系统的动态方程式为2dydydf25y(t)43f(t)2dtdtdt系统的初始状态为y(0)=1，y'(0)=3，求系统的零输入响应yx(t)。2•[解]系统的特征方程为s2s50系统的特征根为s112j，s212jty(t)e（Kcos2tKsin2t)x12y(0)=y(0)=K=1x1y'(0)=y'(0)=K+2K=3解得K1=1，K2=2x12ty(t)e(cos2t