九年级数学上册26.3解直角三角形专题讲座素材

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1、解直角三角形专题讲座  解直角三角形与直角三角形的概念、性质、判定和作图有着密切的联系,是在深入研究几何图形性质的基础上,根据已知条件,计算直角三角形未知的边长、角度和面积,以及与之相关的几何图形的数量。1、明确解直角三角形的依据和思路  在直角三角形中,我们是用三条边的比来表述锐角三角函数定义的。因此,锐角三角函数的定义本质揭示了直角三角形中边角之间的关系,是解直角三角形的基础。  如图1,在Rt△ABC中,∠C=90°,设三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c(以下字母同),则解直角三角形的主要依据是(1

2、)边角之间的关系:sinA=cosB=,cosA=sinB=,tgA=ctgB=,ctgA=tgB=。(2)两锐角之间的关系:A+B=90°。(3)三条边之间的关系:。  以上每个边角关系式都可看作方程,解直角三角形的思路,就是根据已知条件,正确地选择直角三角形中边角间的关系式,通过解一元方程来求解。2、解直角三角形的基本类型和方法  我们知道,由直角三角形中已知的元素求出未知元素的过程叫作解直角三角形,而在直角三角形中,除直角以外还有三条边及两个锐角共五个元素,那么什么样的直角三角形才可解呢?如果已知两个锐角能

3、否解直角三角形呢?8  事实上,解直角三角形跟直角三角形的判定与作图有着本质的联系,因为已知两个元素(至少有一个是边)可以判定直角三角形全等,也可以作出直角三角形,即此时直角三角形是确定的,所以这样的直角三角形是可解的。由于已知两个锐角的直角三角形是不确定的,它们是无数多个相似的直角三角形,因此求不出各边的长。所以,要解直角三角形,给出的除直角外的两个元素中,必须至少有一个是边。这样,解直角三角形就分为两大类,即已知一条边及一个锐角或已知两条边解直角三角形。四种基本类型和解法列表如下: 已知条件解法一边及一锐角直

4、角边a及锐角AB=90°-A,b=a·ctgA,斜边c及锐角AB=90°-A,a=c·sinA,b=c·cosA两边两条直角边a和b,B=90°-A,直角边a和斜边c,B=90°-A, 例1、如图2,若图中所有的三角形都是直角三角形,且∠A=α,AE=1,求AB的长。分析一:所求AB是Rt△ABC的斜边,但在Rt△ABC中只知一个锐角A=α,暂不可解。而在Rt△ADE中,已知一直角边及一锐角是可解的,所以就从解Rt△ADE入手。解法一:在Rt△ADE中,,且∠A=α,AE=1,8,在Rt△ADC中,,在Rt△AB

5、C中,。分析二;观察图形可知,CD、CE分别是Rt△ABC和Rt△ACD斜边上的高,具备应用射影定理的条件,可以利用射影定理求解。解法二:同解法一得,,在Rt△ACD中,,在Rt△ABC中,。说明:本题是由几个直角三角形组合而成的图形。这样的问题,总是先解出已经具备条件的直角三角形,从而逐步创造条件,使得要求解的直角三角形最终可解。值得注意的是,由于射影定理揭示了直角三角形中有关线段的数量关系,因而在解直角三角形时经常要用到。  在解直角三角形的问题中,经常会遇到这样的图形(图3),它是含有两个直角三角形的图形。

6、随着D点在BC边上位置的变化,会引起直角三角形中有关图形数量相应的变化,从而呈现许多不同的解直角三角形的问题,下面举例加以说明。 例2、如图3,在Rt△ABC中,∠C=90°,AD是BC边上的中线。(1)若BD=,∠B=30°,求AD的长;8(2)若∠ABC=α,∠ADC=β,求证:tgβ=2tgα。(1)分析:由AD是BC边的中线,只知DC一条边长,仅此无法直接在Rt△ADC中求解AD。而在Rt△ABC中,由已知BC边和∠B可以先求出AC,从而使Rt△ADC可解。解:在Rt△ABC中,∵BC=2BD=2,∠B=

7、30°,∴AC=BC·tgB=2,在Rt△ADC中,∵DC=BD=,∴。(2)分析:α和β分别为Rt△ABC和Rt△ADC中的锐角,且都以直角边AC为对边,抓住图形的这个特征,根据直角三角形中锐角三角比可以证明tgβ=2tgα。证明:在Rt△ABC中,,在Rt△ADC中,,又∵BC=2DC,∴tgβ=2tgα。 例3、如图3,在Rt△ABC中,∠C=90°,AD是∠BAC的平分线。(1)若AB∶BD=,求∠B;(2)又若BD=4,求。分析:已知AD是∠BAC的平分线,又知两条线段的比AB∶BD=,应用三角形内角平

8、分线的性质定理,就能把已知条件集中转化到Rt△ADC中,先求出∠DAC即可求得∠B。解:(1)∵AD是∠BAC的平分线,,即,在Rt△ADC中,,∴∠DAC=30°,∴∠BAC=2∠DAC=60°,∴∠B=90°-∠BAC=30°。8(2),BD=4,∴AB=BD=4,∵∠B=30°,∴AC=AB=2,又∵BC=AB·cosB=6,∴=BC·AC=×6×2=6。说明:解直

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