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1、试论函数值域求解法类化研究*汤宇'毕力格图21.吉林丁•商学院吉林长春1300622.内蒙古师范人学数学科学学院，内蒙呼和浩特010022摘要：在数学教育教学过程中，通过一个问题解决一类问题的思维训练模式对培养学生数学素养十分重要。基于这样教学理念，本文拟将结合函数类型特征介绍函数值域的多种求解方法，进而提高学习者的探究和应用函数的能力。关键词：函数；值域求解法；函数类型；数学教学中图分类号：GXX文献标识码：A文章编号：XXXX-XXXX函数是初等数学核心概念，而函数值域(最值或优化解)求解方法是至点内容Z-o因此熟练掌握函数值域求法,进而解决实际应川问题显得I-分重要。而在数学方法掌握
2、过程屮,通过一个典型案例或问题解决一类问题的思维训练模式是关键。本文拟将结合函数的类型特征介绍函数值域的不同求法。1.配方法配方法是依据二项完全平方公式，合理运用“裂项”与“添项”、“配”与“凑”的方法对数学式子进行恒等变形，使数学式子出现完全平方，从而化繁为简的技巧。配方法多出现于二次函数、二次方程、二次不等式、二次代数式或不含xy项的二次曲线的平移变换等问题的解决过程中。下血用这个方法讨论一元二次惭数一般式的值域求解。f(x)=ax2(1)若兀不受任何限制，即xgR,则没有最大值，即值域为/[-—
3、,+00'I2d丿没有最小值，即值域为I•I2d丿(2)若兀一边受限制,bx=G2a时4
4、a(qhO),对分三种情形讨论。0吋有最小值九4ac-b24aa<0时有最大值ymax4ac-b，4a即xe[m,4-oo)(或xg(-oo,/h])，则考虑对称轴的位置。当a>0时值域为r
5、-—L+oo,a<0时值域为I2°丿丿»纟［加,+00)时,ci>0时值域为［f(m),+8)67<0时值域为(-00,/(/?/)]o*内蒙古自治区高等学校科学研究项目，NJ10322作者简介：汤宇(1970-),女，硕士研究生，讲师，主要从事常微分方程研究（3）若兀两边都受限制,即xe［m,n］（或xe［m,n））,则还要考虑对称轴的位置。当hX=G2aq＞（）时最小值为ymin=f-4ac-b
6、24a最人值为>?max=max{/(/n),/(72)}:X。时最大值为“彳毎卜气匚最小值为儿in=斷｛/（加）,/何｝。br当x=电m.n时,2al如果/（m）＞/（n）,那么值域为［/（〃）,/（〃）］；如果/（加）＜/何，那么值域为［/（〃）,/（町］。配方法是求二次函数类（即形如/（%）=t7/?2（X）+/?/?（X）+C）值域的基本方法。1.换元法解决数学问题时，把某个数学式子看成一个整休，然后一个变量去代换它，从而复杂问题简单化的方法称Z为换元法。换元法的实质是转化，难度在构造或假设的技巧，理论依据是等量代换，因此通过观察分析巧妙地化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理
7、式、化超越式为代数式，将问题变得容易处理。[2解：设r=y/cx+d,则x=—例1求函数y=or+b±Jex+d(qchO)的值域。—o因此y=ax+b±Jex+cl=—t2±t+—~—ccc/〉0。再利用一元二次函数值域求解方法可得原函数的值域。例2求函数y=Vx+/a-x（a〉0）的值域。解：因为y=Vx+yja-x=Ja冃沁0,1］,可利用三角换元法。设,贝'Jy=yfx+^la-x=y[a(sin0+cos0}=y/2asin0+—。•I4丿故原函数值域为［禹，血］例3已知P（x,y）是曲线4x2-5xy+4y2=5上的动点，T=x2+y2,求T的值域。TT解：对利用均值换元法
8、。rhT=〒+2,可设兀2二_+/,2二一一t2.2xy=±J41代入曲线方程得47±5&-宀5,移项平方整理可得：T239宀60"00=-100几故解39Z60T+叫。得:詈"罟加的值域10103.反函[法若y=f（x）与）
9、（兀）互为反函数’则y=fm的定义域为y=/（%）的值域。利川这一关系求得函数值域的方法称之为反函数法。形如y=aX+（ac^O）^xex,xe7?L那么可利用反函数法求出其值域。cx+dc因为它的反函数y二二如2的定义域为xx^-,xer,所以原函数的值域为cx-acanyy^-,yeR>.c4.判别式法把函数解析式化成关于兀的二次方程F（x,y）=0,由函
10、数定义域非空可知此方程一定axx2+b]X+C]aa2x+/?2x+c2存在实数根，即4>0,进而求得原函数的值域的方法称Z为判别式法。（q、@不同时为零）的函数，如果分子分母没有公因式且定义域为
11、xa2x2+/?2x+c2^0,xg,则常用此方法求值域。例4求函数y=2疋+4无一7+2x+3的值域。解：把函数解析式变形为_yx2+2yx+3y=2x2+4x-7,即变为关于兀的方程（y—2）兀2+2（y—2）x+3y+7
