2018-2019学年高中数学第二章推理与证明2.1.1第2课时类比推理学案苏教版选修

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1、第2课时　类比推理学习目标　1.了解类比推理的含义、特征，能利用类比进行简单的推理.2.能正确区别归纳推理与类比推理的不同点，了解合情推理的合理性．知识点一　类比推理思考　科学家对火星进行研究，发现火星与地球有许多类似的特征：(1)火星也是绕太阳公转、绕轴自转的行星；(2)有大气层，在一年中也有季节更替；(3)火星上大部分时间的温度适合地球上某些已知生物的生存等．由此，科学家猜想：火星上也可能有生命存在．他们使用了什么样的推理？答案　类比推理．梳理　(1)类比推理的定义根据两个(或两类)对象之间在某些方面的相似或相同，推演出它们

2、在其他方面也相似或相同，像这样的推理通常称为类比推理，简称类比法．(2)类比推理的思维过程大致如图―→―→(3)特征：由特殊到特殊的推理．知识点二　合情推理思考1　归纳推理与类比推理有何区别与联系？答案　区别：归纳推理是由特殊到一般的推理；而类比推理是由个别到个别的推理或是由特殊到特殊的推理．联系：在前提为真时，归纳推理与类比推理的结论都可真可假．思考2　归纳推理和类比推理的结论一定正确吗？答案　不一定正确．梳理　(1)合情推理的含义合情推理是根据已有的事实、正确的结论、实验和实践的结果，以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理

3、过程．归纳推理和类比推理都是数学活动中常用的合情推理．(2)合情推理的过程―→―→―→1．由合情推理得出的结论一定是正确的．(　×　)2．合情推理必须有前提有结论．(　√　)3．类比推理不能猜想．(　×　)类型一　数列中的类比推理例1　设等差数列{an}的前n项和为Sn，则S4，S8－S4，S12－S8，S16－S12成等差数列，类比以上结论有：设等比数列{bn}的前n项积为Tn，则T4，________，________，成等比数列．答案　　解析　由于等差数列与等比数列具有类比性，且等差数列与和差有关，等比数列与积商有关，因此

4、当等差数列依次每4项的和仍成等差数列时，类比等比数列为依次每4项的积成等比数列．下面证明该结论的正确性：设等比数列{bn}的公比为q，首项为b1，则T4＝bq6，T8＝bq1＋2＋…＋7＝bq28，T12＝bq1＋2＋…＋11＝bq66，T16＝bq1＋2＋…＋15＝bq120，∴＝bq22，＝bq38，＝bq54，即2＝·T4，2＝·，故T4，，，成等比数列．反思与感悟　已知等差数列与等比数列有类似的性质，在类比过程中也有一些规律，如下表所示的部分结论(其中d，q分别是公差和公比，m，n，p，r∈N*)：等差数列等比数列定义a

5、n－an－1＝d(n≥2)an÷an－1＝q(n≥2)通项公式an＝a1＋(n－1)dan＝a1qn－1性质若m＋n＝p＋r，则am＋an＝ap＋ar若m＋n＝p＋r，则am·an＝ap·ar跟踪训练1　若数列{an}(n∈N*)是等差数列，则有数列bn＝(n∈N*)也是等差数列；类比上述性质，相应地：若数列{cn}(n∈N*)是等比数列，且cn>0，则有数列dn＝______________(n∈N*)也是等比数列．答案　解析　数列{an}(n∈N*)是等差数列，则有数列bn＝(n∈N*)也是等差数列．类比猜想：若数列{cn}

6、(n∈N*)是各项均为正数的等比数列，则当dn＝(n∈N*)时，数列{dn}也是等比数列．类型二　几何中的类比推理例2　如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°.设a，b，c分别表示三条边的长度，由勾股定理，得c2＝a2＋b2.类比平面内直角三角形的勾股定理，试给出空间中四面体性质的猜想．解　如题图，在Rt△ABC中，∠C＝90°.设a，b，c分别表示3条边的长度，由勾股定理，得c2＝a2＋b2.类似地，如图所示，在四面体P－DEF中，∠PDF＝∠PDE＝∠EDF＝90°.设S1，S2，S3和S分别表示△PDF，△PDE，△EDF和

7、△PEF的面积，相对于直角三角形的两条直角边a，b和1条斜边c，图中的四面体有3个“直角面”S1，S2，S3和1个“斜面”S.于是类比勾股定理的结构，我们猜想S2＝S＋S＋S成立．反思与感悟　(1)类比推理的基本原则是根据当前问题的需要，选择适当的类比对象，可以从几何元素的数目、位置关系、度量等方面入手．由平面中相关结论可以类比得到空间中的相关结论．(2)中学阶段常见的类比知识点：等差数列与等比数列，空间与平面，圆与球等等，比如平面几何的相关结论类比到立体几何的相关类比点如下：平面图形空间图形点直线直线平面边长面积面积体积三角形

8、四面体线线角面面角跟踪训练2　在长方形ABCD中，对角线AC与两邻边所成的角分别为α，β，cos2α＋cos2β＝1，则在立体几何中，给出类比猜想．解　在长方形ABCD中，cos2α＋cos2β＝2＋2＝＝＝1.于是类比到长方体中，猜想其体对角线与共顶点的三条棱