2018-2019学年高中数学第二讲直线与圆的位置关系一圆周角定理学案新人教A版选修

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1、一　圆周角定理[学习目标]1.探究并理解圆周角定理的证明过程.2.通过圆周角定理的证明过程，体会分类讨论思想，并能对一些简单的数学问题进行分类讨论.3.理解圆周角定理、圆心角定理及圆周角定理的两个推论，能用这些定理、推论解决相关的几何问题.[知识链接]1.“相等的圆周角所对的弧相等”是否正确？提示　不正确.“相等的圆周角所对的弧相等”是在“同圆或等圆中”这一大前提下成立的，如图.若AB∥DG，则∠BAC＝∠EDF，但≠.2.圆的一条弦所对的圆周角都相等吗？提示　不一定相等.一般有两种情况：相等或互补.弦所对的优弧与所对劣弧所成的圆周角互补，所对同一条弧上的圆周角都相等，直

2、径所对的圆周角既相等又互补.[预习导引]1.圆周角定理文字语言圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半图形语言符号语言在⊙O中，所对的圆周角和圆心角分别是∠BAC，∠BOC，则有∠BAC＝∠BOC作用确定圆中两个角的大小关系2.圆心角定理文字语言圆心角的度数等于它所对弧的度数图形语言符号语言A，B是⊙O上两点，则的度数等于∠AOB的度数作用确定圆弧或圆心角的度数3.圆周角定理的推论推论1　同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等.推论2　半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径.要点一　圆周角定理及其推论例1　在半径

3、为5cm的圆内有长为5cm的弦AB，求此弦所对的圆周角.解　如图所示，过O点作OD⊥AB于点D.因为OD⊥AB，OD经过圆心，所以AD＝BD＝(cm).在Rt△AOD中，OD＝＝(cm)，所以∠OAD＝30°，所以∠AOD＝60°.所以∠AOB＝2∠AOD＝120°，所以∠ACB＝∠AOB＝60°.因为∠AOB＝120°，所以的度数为120°，的度数为240°.所以∠AEB＝×240°＝120°.所以此弦所对的圆周角为60°或120°.规律方法　弦所对的圆周角有两个，易丢掉120°导致错误，另外求圆周角时易应用到解三角形的知识.跟踪演练1　如图，已知：△ABC内接于⊙O，

4、D，E在BC边上，且BD＝CE，∠1＝∠2.求证：AB＝AC.证明　延长AD，AE，分别交⊙O于F，G，连接BF，CG，∵∠1＝∠2，∴＝，∴BF＝CG，＝，∴∠FBC＝∠GCE.又∵BD＝CE，∴△BFD≌△CGE，∴∠F＝∠G，＝，∴AB＝AC.要点二　圆心角定理例2　如图所示，AB，CD是⊙O的两条直径，CE∥AB，求证：＝.证明　连接OE，因为OE＝OC，所以∠C＝∠E.因为CE∥AB.所以∠C＝∠BOC，∠E＝∠AOE.所以∠BOC＝∠AOE.所以＝.规律方法　证明弧相等只需证明弧所对的圆心角相等，通常用圆周角定理或平行来转化.跟踪演练2　如图所示，已知⊙O中，

5、∠AOB＝2∠BOC.求证：∠ACB＝2∠BAC.证明　∵∠ACB＝∠AOB，∠BAC＝∠BOC，又由已知∠AOB＝2∠BOC，∴∠ACB＝×2∠BOC＝∠BOC.故∠BAC＝∠ACB，即：∠ACB＝2∠BAC.要点三　直径上的圆周角例3　如图所示，已知AB为⊙O的直径，AC为弦，OD∥BC，交AC于D，BC＝4cm.(1)试判断OD与AC的位置关系；(2)求OD的长；(3)若2sinA－1＝0，求⊙O的直径.解　(1)OD⊥AC.理由如下：∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.∵OD∥BC，∴∠ADO＝∠ACB＝90°，∴OD⊥AC.(2)∵△AOD∽△ABC，∴＝＝

6、，∴OD＝BC＝2(cm).(3)∵2sinA－1＝0，∴sinA＝.又∵sinA＝，∴AB＝2BC＝8cm，即⊙O的直径为8cm.规律方法　此题充分利用了“直径所对的圆周角是直角”这一特征，并在此基础上对前面所学知识进行适当的综合.跟踪演练3　如图，AB是半圆的直径，AC为弦，且AC∶BC＝4∶3，AB＝10cm，OD⊥AC于D.求四边形OBCD的面积.解　∵AB是半圆的直径，∴∠C＝90°.∵AC∶BC＝4∶3，∴可设AC＝4x，BC＝3x.又∵AB＝10，∴16x2＋9x2＝100，∴x＝2，∴AC＝8cm，BC＝6cm.又∵OD⊥AC，∴OD∥BC，∴AD＝4cm

7、，OD＝3cm.∴S四边形OBCD＝S△ABC－S△AOD＝×6×8－×3×4＝24－6＝18(cm2).1.圆周角定理揭示了圆周角与圆心角的关系，把角和弧两种不同类型的图形联系起来.在几何证明的过程中，圆周角定理为我们解决角和弧之间的问题提供了一种新方法.2.圆心角的度数等于它所对的弧的度数，它与圆的半径无关，也就是说在大小不等的两个圆中，相同度数的圆心角，它们所对的弧的度数相等；反过来，弧的度数相等，它们所对的圆心角的度数也相等.3.关于圆周角定理推论的理解(1)在推论1中，注意：“同弧或等弧”改为“同弦或等弦”的话结论就