高中数学第3章3.3复数的几何意义课堂导学案

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1、3.3复数的几何意义课堂导学三点剖析各个击破一、复数的点表示【例1】设复数z满足

2、z

3、=5，且(3+4i)z在复平面上对应点在第二四象限的角平分线上，

4、z-m

5、=5(m∈R),求z和m的值.解：设z=a+bi(a,b∈R)∵

6、z

7、=5,∴a2+b2=25.而（3+4i）z=(3+4i)(a+bi)=(3a-4b)+(4a+3b）i，又∵(3+4i)z在复平面上对应点在第二、四象限角平分线上，∴3a-4b+4a+3b=0，得b=7a，∴a=±，b=±，即z=±(+i)，z=±(1+7i).当z=1+7i时，有

8、1+7i-m

9、=5，即（1-m）2+7

10、2=50,得m=0,m=2.当z=-(1+7i)时，同理可得m=0,m=-2.类题演练1已知复数x2-6x+5+(x-2)i在复平面内对应的点在第三象限，求实数x的范围.答案：解：∵x为实数，∴x2-6x+5和x-2都是实数.∵复数x2-6x+5+(x-2)i在复平面内对应的点在第三象限，∴∴解得1

11、得3z1+(-z1-2)i=-2z1-(1+z1)i.解得5z1=i.∴z1=i,z2=-i.二、复数的向量表示【例2】向量表示的复数为3+2i，将向量向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度，将得到向量，分别写出.(1)向量对应的复数；(2)点′对应的复数；(3)向量对应的复数.思路分析：根据复数向量表示的意义及平移知识，一个复数对应的向量在平面内平移，只要不改变方向和模的长，它们表示同一个复数，若模长不变，方向与原来相反，则对应的复数是原向量对应的复数的相反数.解：如右图所示，O为原点，点A的坐标为（3，2），向上平移3个单位长度再向左平

12、移2个单位后，点O′的坐标为（-2，3）.点A′的坐标为（1，5），坐标平移不改变的方向和模.（1）向量对应的复数为3+2i;（2）点对应的复数为-2+3i;（3）向量对应的复数为-3-2i.类题演练2已知平行四边形OABC的三个顶点O、A、C对应的复数分别为0，3+2i，-2+4i.试求：(1)表示的复数；（2）表示的复数；（3）B点对应的复数.答案：解析：（1），∴表示的复数为-(3+2i)即-3-2i.(2)，∴表示的复数为（3+2i)-(-2+4i)=5-2i.(3),∴表示的复数为（3+2i）+(-2+4i)=1+6i,即B点对应的复数

13、为1+6i,变式提升2已知两个向量a、b对应的复数是z1=3和z2=-5+5i，求向量a与b的夹角.答案：解:a=（3，0），b=（-5，5），所以a·b=-15，

14、a

15、=3，

16、b

17、=.设a与b的夹角为θ,所以cosθ=.因为0≤θ≤π,所以θ=.三、复数模的几何意义【例3】设Z∈C,满足下列条件的点Z的集合是什么图形？（1）

18、z

19、=4；（2）2<

20、z

21、<4.解：（1）如左下图，复数z的模等于4，就是说，向量的模等于4，所以满足条件

22、z

23、=4的点Z的集合是以原点O为圆心，以4为半径的圆.（2）不等式2<

24、z

25、<4可化为不等式组如右上图，不等式

26、z

27、

28、<4的解集是圆

29、z

30、=4内部所有的点组成的集合，不等式

31、z

32、>2的解集是圆

33、z

34、=2外部所有的点组成的集合，这两个集合的交集就是上述不等式组的解集，也就是满足条件2<

35、z

36、<4的点Z的集合.容易看出，点Z的集合是以原点O为圆心，以2及4为半径的圆所夹的圆环，但不包括圆环的边界.温馨提示满足条件

37、z

38、=r(r为正常数)的点Z的集合是以原点为圆心、r为半径的圆.类题演练3已知点集D={z

39、

40、z+1+i

41、=1,z∈C}，试求

42、z

43、的最小值和最大值.答案：解:点集D的图象为以点C（-1，-）为圆心，以1为半径的圆，圆上任一点P对应的复数为z，则

44、

45、=

46、

47、z

48、.如右图，当OP过圆心C(-1,-)时，与圆交于A、B，则

49、z

50、的最小值是

51、OA

52、=

53、OC

54、-1=-1=2-1=1,即

55、z

56、min=1；

57、z

58、的最大值是

59、OB

60、=

61、OC

62、+1=2+1=3，即

63、z

64、max=3.变式提升3已知z=3+ai，且

65、z-2

66、<2,求实数a的取值范围.答案：解法一:利用模的定义，从两个已知条件中消去z.∵z=3+ai(a∈R),由

67、z-2

68、<2,得

69、3+ai-2

70、<2,即

71、1+ai

72、<2,∴<2,解之-

73、z-2

74、<2可知，z在复平面内对应的点Z，在以（2，0）为圆心，2为半径的

75、圆内（不包括边界），如右图由z=3+ai可知z对应的点Z在直线x=3上，所以线段AB（除去端点）为动点Z的集合.由右图知：-