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时间:2018-03-23
《高中数学第3章数系的扩充与复数的引入3.3复数的几何意义课堂导学案苏教版选修1_2》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、2018年苏教版高中数学选修1-2课堂导学案3.3复数的几何意义课堂导学三点剖析各个击破一、复数的点表示【例1】设复数z满足
2、z
3、=5,且(3+4i)z在复平面上对应点在第二四象限的角平分线上,
4、z-m
5、=5(m∈R),求z和m的值.解:设z=a+bi(a,b∈R)∵
6、z
7、=5,∴a2+b2=25.而(3+4i)z=(3+4i)(a+bi)=(3a-4b)+(4a+3b)i,又∵(3+4i)z在复平面上对应点在第二、四象限角平分线上,∴3a-4b+4a+3b=0,得b=7a,∴a=±,b=±,即z=±(+i),z=±(1+7
8、i).当z=1+7i时,有
9、1+7i-m
10、=5,即(1-m)2+72=50,得m=0,m=2.当z=-(1+7i)时,同理可得m=0,m=-2.类题演练1已知复数x2-6x+5+(x-2)i在复平面内对应的点在第三象限,求实数x的范围.答案:解:∵x为实数,∴x2-6x+5和x-2都是实数.∵复数x2-6x+5+(x-2)i在复平面内对应的点在第三象限,∴∴解得111、-2)i=2z2-(1+z1)i,求z1和z2.答案:解:由于z1、z2在复平面内的对应点关于原点对称,有z2=-z1,代入已知等式,得3z1+(-z1-2)i=-2z1-(1+z1)i.解得5z1=i.∴z1=i,z2=-i.二、复数的向量表示【例2】向量表示的复数为3+2i,将向量向上平移3个单位长度,再向左平移2个单位长度,将得到向量,分别写出.(1)向量对应的复数;(2)点′对应的复数;(3)向量对应的复数.思路分析:根据复数向量表示的意义及平移知识,一个复数对应的向量在平面内平移,只要不改变方向和模的长,它们表示同12、一个复数,若模长不变,方向与原来相反,则对应的复数是原向量对应的复数的相反数.解:如右图所示,O为原点,点A的坐标为(3,2),向上平移3个单位长度再向左平移2个单位后,点O′的坐标为(-2,3).点A′的坐标为(1,5),坐标平移不改变的方向和模.(1)向量对应的复数为3+2i;(2)点对应的复数为-2+3i;(3)向量对应的复数为-3-2i.类题演练2已知平行四边形OABC的三个顶点O、A、C对应的复数分别为0,3+2i,-2+4i.试求:(1)表示的复数;(2)表示的复数;(3)B点对应的复数.答案:解析:(1),4213、018年苏教版高中数学选修1-2课堂导学案∴表示的复数为-(3+2i)即-3-2i.(2),∴表示的复数为(3+2i)-(-2+4i)=5-2i.(3),∴表示的复数为(3+2i)+(-2+4i)=1+6i,即B点对应的复数为1+6i,变式提升2已知两个向量a、b对应的复数是z1=3和z2=-5+5i,求向量a与b的夹角.答案:解:a=(3,0),b=(-5,5),所以a·b=-15,14、a15、=3,16、b17、=.设a与b的夹角为θ,所以cosθ=.因为0≤θ≤π,所以θ=.三、复数模的几何意义【例3】设Z∈C,满足下列条件的点Z的18、集合是什么图形?(1)19、z20、=4;(2)2<21、z22、<4.解:(1)如左下图,复数z的模等于4,就是说,向量的模等于4,所以满足条件23、z24、=4的点Z的集合是以原点O为圆心,以4为半径的圆.(2)不等式2<25、z26、<4可化为不等式组如右上图,不等式27、z28、<4的解集是圆29、z30、=4内部所有的点组成的集合,不等式31、z32、>2的解集是圆33、z34、=2外部所有的点组成的集合,这两个集合的交集就是上述不等式组的解集,也就是满足条件2<35、z36、<4的点Z的集合.容易看出,点Z的集合是以原点O为圆心,以2及4为半径的圆所夹的圆环,但不包括圆环的边界.温馨37、提示满足条件38、z39、=r(r为正常数)的点Z的集合是以原点为圆心、r为半径的圆.类题演练3已知点集D={z40、41、z+1+i42、=1,z∈C},试求43、z44、的最小值和最大值.答案:解:点集D的图象为以点C(-1,-42018年苏教版高中数学选修1-2课堂导学案)为圆心,以1为半径的圆,圆上任一点P对应的复数为z,则45、46、=47、z48、.如右图,当OP过圆心C(-1,-)时,与圆交于A、B,则49、z50、的最小值是51、OA52、=53、OC54、-1=-1=2-1=1,即55、z56、min=1;57、z58、的最大值是59、OB60、=61、OC62、+1=2+1=3,即63、z64、max=3.变65、式提升3已知z=3+ai,且66、z-267、<2,求实数a的取值范围.答案:解法一:利用模的定义,从两个已知条件中消去z.∵z=3+ai(a∈R),由68、z-269、<2,得70、3+ai-271、<2,即72、1+ai73、<2,∴<2,解之-74、z-275、<2可知,z在复平面
11、-2)i=2z2-(1+z1)i,求z1和z2.答案:解:由于z1、z2在复平面内的对应点关于原点对称,有z2=-z1,代入已知等式,得3z1+(-z1-2)i=-2z1-(1+z1)i.解得5z1=i.∴z1=i,z2=-i.二、复数的向量表示【例2】向量表示的复数为3+2i,将向量向上平移3个单位长度,再向左平移2个单位长度,将得到向量,分别写出.(1)向量对应的复数;(2)点′对应的复数;(3)向量对应的复数.思路分析:根据复数向量表示的意义及平移知识,一个复数对应的向量在平面内平移,只要不改变方向和模的长,它们表示同
12、一个复数,若模长不变,方向与原来相反,则对应的复数是原向量对应的复数的相反数.解:如右图所示,O为原点,点A的坐标为(3,2),向上平移3个单位长度再向左平移2个单位后,点O′的坐标为(-2,3).点A′的坐标为(1,5),坐标平移不改变的方向和模.(1)向量对应的复数为3+2i;(2)点对应的复数为-2+3i;(3)向量对应的复数为-3-2i.类题演练2已知平行四边形OABC的三个顶点O、A、C对应的复数分别为0,3+2i,-2+4i.试求:(1)表示的复数;(2)表示的复数;(3)B点对应的复数.答案:解析:(1),42
13、018年苏教版高中数学选修1-2课堂导学案∴表示的复数为-(3+2i)即-3-2i.(2),∴表示的复数为(3+2i)-(-2+4i)=5-2i.(3),∴表示的复数为(3+2i)+(-2+4i)=1+6i,即B点对应的复数为1+6i,变式提升2已知两个向量a、b对应的复数是z1=3和z2=-5+5i,求向量a与b的夹角.答案:解:a=(3,0),b=(-5,5),所以a·b=-15,
14、a
15、=3,
16、b
17、=.设a与b的夹角为θ,所以cosθ=.因为0≤θ≤π,所以θ=.三、复数模的几何意义【例3】设Z∈C,满足下列条件的点Z的
18、集合是什么图形?(1)
19、z
20、=4;(2)2<
21、z
22、<4.解:(1)如左下图,复数z的模等于4,就是说,向量的模等于4,所以满足条件
23、z
24、=4的点Z的集合是以原点O为圆心,以4为半径的圆.(2)不等式2<
25、z
26、<4可化为不等式组如右上图,不等式
27、z
28、<4的解集是圆
29、z
30、=4内部所有的点组成的集合,不等式
31、z
32、>2的解集是圆
33、z
34、=2外部所有的点组成的集合,这两个集合的交集就是上述不等式组的解集,也就是满足条件2<
35、z
36、<4的点Z的集合.容易看出,点Z的集合是以原点O为圆心,以2及4为半径的圆所夹的圆环,但不包括圆环的边界.温馨
37、提示满足条件
38、z
39、=r(r为正常数)的点Z的集合是以原点为圆心、r为半径的圆.类题演练3已知点集D={z
40、
41、z+1+i
42、=1,z∈C},试求
43、z
44、的最小值和最大值.答案:解:点集D的图象为以点C(-1,-42018年苏教版高中数学选修1-2课堂导学案)为圆心,以1为半径的圆,圆上任一点P对应的复数为z,则
45、
46、=
47、z
48、.如右图,当OP过圆心C(-1,-)时,与圆交于A、B,则
49、z
50、的最小值是
51、OA
52、=
53、OC
54、-1=-1=2-1=1,即
55、z
56、min=1;
57、z
58、的最大值是
59、OB
60、=
61、OC
62、+1=2+1=3,即
63、z
64、max=3.变
65、式提升3已知z=3+ai,且
66、z-2
67、<2,求实数a的取值范围.答案:解法一:利用模的定义,从两个已知条件中消去z.∵z=3+ai(a∈R),由
68、z-2
69、<2,得
70、3+ai-2
71、<2,即
72、1+ai
73、<2,∴<2,解之-74、z-275、<2可知,z在复平面
74、z-2
75、<2可知,z在复平面
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