学案38 直接证明与间接证明

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1、学案38　直接证明与间接证明导学目标：1.了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程及特点.2.了解间接证明的一种基本方法——反证法，了解反证法的思考过程及特点．自主梳理1．直接证明(1)综合法①定义：利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等，经过一系列的________，最后推导出所要证明的结论________，这种证明方法叫做综合法．②框图表示：→→→…→(其中P表示已知条件，Q表示要证的结论)．(2)分析法①定义：从________________出发，逐步寻求使它成立的__________，直至最

2、后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)．这种证明的方法叫做分析法．②框图表示：→→→…→.2．间接证明反证法：假设原命题__________(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出________，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法．自我检测1．分析法是从要证的结论出发，寻求使它成立的(　　)A．充分条件B．必要条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件2．(2011·揭阳模拟)用反证法证明“如果a>b，那么>”的假设内容应是(　　)A.＝B.

3、＝且

4、a－c

5、≤

6、a－b

7、＋

8、c－b

9、B．a2＋≥a＋C.－<－D．

10、a－b

11、＋≥24．(2010·广东)在集合{a，b，c，d}上定义两种运算⊕和⊗如下：那么d⊗(a⊕c)等于(　　)A．aB．bC．cD．d5．(2011·东北三省四市联考)设x、y、z∈R＋，a＝x＋，b＝y＋，c＝z＋，则a、b、c三数(　　)A．至少有一个不大于2B．都小于2C．至少有一个不小于2D．都大于2探究点一　综合法例1　已知a，b，c都是实数，求证：a2＋b2＋c2≥(

12、a＋b＋c)2≥ab＋bc＋ca.变式迁移1　设a，b，c>0，证明：＋＋≥a＋b＋c.探究点二　分析法例2　(2011·马鞍山月考)若a，b，c是不全相等的正数，求证：lg＋lg＋lg>lga＋lgb＋lgc.变式迁移2　已知a>0，求证：－≥a＋－2.探究点三　反证法例3　若x，y都是正实数，且x＋y>2，求证：<2与<2中至少有一个成立．变式迁移3　若a，b，c均为实数，且a＝x2－2y＋，b＝y2－2z＋，c＝z2－2x＋.求证：a，b，c中至少有一个大于0.转化与化归思想的应用例　(12分)(2010·上海改编)若实数x、y、

13、m满足

14、x－m

15、＞

16、y－m

17、，则称x比y远离m.(1)若x2－1比1远离0，求x的取值范围．(2)对任意两个不相等的正数a、b，证明：a3＋b3比a2b＋ab2远离2ab.多角度审题　(1)本题属新定义题，根据“远离”的含义列出不等式，然后加以求解．(2)第(2)小题，实质是证明不等式

18、a3＋b3－2ab

19、>

20、a2b＋ab2－2ab

21、成立．证明时注意提取公因式及配方法的运用．【答题模板】(1)解　由题意得＞1，即x2－1＞1或x2－1＜－1.[2分]由x2－1＞1，得x2＞2，即x＜－或x＞；由x2－1＜－1，得x∈∅.综上可知x的取值

22、范围为(－∞，－)∪(，＋∞)．[4分](2)证明　由题意知即证＞成立．[6分]∵a≠b，且a、b都为正数，∴＝＝＝(a－b)2，＝＝ab(－)2＝(a－b)2，[8分]即证(a－b)2－(a－b)2＞0，即证(a－b－a＋b)(a－b＋a－b)＞0，需证＞0，[10分]即证(a＋b)(a－b)2＞0，∵a、b都为正数且a≠b，∴上式成立．故原命题成立．[12分]【突破思维障碍】1．准确理解题意，提炼出相应不等式是解决问题的关键．2．代数式

23、a3＋b3－2ab

24、与

25、a2b＋ab2－2ab

26、中的绝对值符号去掉为后续等价变形提供了方便．【易

27、错点剖析】1．推理论证能力较差，绝对值符号不会去．2．运用能力较差，不能有效地进行式子的等价变形或中间变形出错．1．综合法是从条件推导到结论的思维方法，它是从已知条件出发，经过逐步的推理，最后达到待证的结论．即由因导果．2．分析法是从待证结论出发，一步一步地寻求结论成立的充分条件，最后达到题设的已知条件或已被证明的事实．即执果索因，用分析法寻找解题思路，再用综合法书写，这样比较有条理，叫分析综合法．3．用反证法证明问题的一般步骤：(1)反设：假定所要证的结论不成立，即结论的反面(否定命题)成立；(否定结论)(2)归谬：将“反设”作为条件

28、，由此出发经过正确的推理，导出矛盾——与已知条件、已知的公理、定义、定理及明显的事实矛盾或自相矛盾；(推导矛盾)(3)结论：因为推理正确，所以产生矛盾的原因在于“反设”的谬误．既然结论的反面不成立，从而肯定