直接证明与间接证明学案.doc

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1、2.2直接证明与间接证明学习目标：1．结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：综合法和分析法，了解间接证明的一种基本方法：反证法；2．了解综合法、分析法和反证法的思考过程、特点.重点：根据问题的特点，结合综合法、分析法和反证法的思考过程、特点，选择适当的证明方法或把不同的证明方法结合使用.难点：根据问题的特点，选择适当的证明方法或把不同的证明方法结合使用.学习策略分析法和综合法在证明方法中都占有重要地位，是解决数学问题的重要思想方法。当所证命题的结论与所给条件间联系不明确，常常采用分析法证明；当所证

2、的命题与相应定义、定理、公理有直接联系时，常常采用综合法证明.在解决问题时，常常把分析法和综合法结合起来使用。反证法解题的实质是否定结论导出矛盾，从而说明原结论正确。在否定结论时，其反面要找对、找全.它适合证明“存在性问题、唯一性问题”，带有“至少有一个”或“至多有一个”等字样的数学问题.知识点一：直接证明1、综合法（1）定义：一般地，从命题的已知条件出发，利用公理、已知的定义及定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法.　　（2）综合法的的基本思路：执因索果综合法又叫“

3、顺推证法”或“由因导果法”.它是从已知条件和某些学过的定义、公理、公式、定理等出发，通过推导得出结论.（3）综合法的思维框图：用表示已知条件，为定义、定理、公理等，表示所要证明的结论，则综合法可用框图表示为：　　　　（已知）（逐步推导结论成立的必要条件）（结论）2、分析法　（1）定义：一般地，从需要证明的命题出发，分析使这个命题成立的充分条件，逐步寻找使命题成立的充分条件，直至所寻求的充分条件显然成立（已知条件、定理、定义、公理等），或由已知证明成立，从而确定所证的命题成立的一种证明方法，叫做分析法.　（2）分

4、析法的基本思路：执果索因分析法又叫“逆推证法”或“执果索因法”.它是从要证明的结论出发，分析使之成立的条件，即寻求使每一步成立的充分条件，直到最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止.（3）分析法的思维框图：用表示已知条件和已有的定义、公理、公式、定理等，所要证明的结论，则用分析法证明可用框图表示为：　　　　　　　　　　　　（结论）（逐步寻找使结论成立的充分条件）（已知）　　（4）分析法的格式：要证……，只需证……，只需证……，因为……成立，所以原不等式得证。知识点二

5、：间接证明反证法　　（1）定义：一般地，首先假设要证明的命题结论不正确，即结论的反面成立，然后利用公理，已知的定义、定理，命题的条件逐步分析，得到和命题的条件或公理、定理、定义及明显成立的事实等矛盾的结论，以此说明假设的结论不成立，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法.　　（2）反证法的特点：反证法是间接证明的一种基本方法.它是先假设要证的命题不成立，即结论的反面成立，在已知条件和“假设”这个新条件下，通过逻辑推理，得出与定义、公理、定理、已知条件、临时假设等相矛盾的结论，从而判定结论的反面不能成立，

6、即证明了命题的结论一定是正确的.（3）反证法的基本思路：“假设——矛盾——肯定”　　　　①分清命题的条件和结论．②做出与命题结论相矛盾的假设．③由假设出发，结合已知条件，应用演绎推理方法，推出矛盾的结果．④断定产生矛盾结果的原因，在于开始所做的假定不真，于是原结论成立，从而间接地证明原命题为真．（4）用反证法证明命题“若则”，它的全部过程和逻辑根据可以表示为：　　　　　　（5）反证法的优点：对原结论否定的假定的提出，相当于增加了一个已知条件.规律方法指导1.用反证法证明数学命题的一般步骤：①反设——假设命题的结

7、论不成立，即假定原命题的反面为真；②归谬——从反设和已知条件出发，经过一系列正确的逻辑推理，得出矛盾结果；③存真——由矛盾结果，断定反设不真，从而肯定原结论成立.2.适合使用反证法的数学问题：①要证的结论与条件之间的联系不明显，直接由条件推出结论的线索不够清晰；比如“存在性问题、唯一性问题”等；②如果从正面证明，需要分成多种情形进行分类讨论，而从反面进行证明，只要研究一种或很少的几种情形.比如带有“至少有一个”或“至多有一个”等字样的数学问题.经典例题透析类型一：综合法1．如图，设在四面体中，，，是的中点.　　

8、　　　　求证：垂直于所在的平面.　　　　　　　　　　　　　　　　思路点拨：要证垂直于所在的平面，只需在所在的平面内找到两条相交直线与垂直.解析：连、因为是斜边上的中线，所以又因为,而是、、的公共边，所以于是,而，因此∴，由此可知垂直于所在的平面.总结升华：这是一例典型的综合法证明.现将用综合法证题的过程展现给大家，供参考：　　（1）由已知是斜边上的中线，推出，记为（已知）；　　（2）由