2018-2019学年高中数学 第一讲 不等式和绝对值不等式 一 不等式 2 基本不等式学案 新人教A版选修4-5

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1、2．基本不等式　1.理解并掌握定理1、定理2，会用两个定理解决函数的最值或值域问题．2．能运用基本不等式(两个正数的)解决某些实际问题．,　　　　　　　　[学生用书P5])1．重要不等式定理1：如果a，b∈R，那么a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立．2．基本不等式(1)定理2：如果a，b>0，那么≥，当且仅当a＝b时，等号成立．(2)定理2的应用：对两个正实数x，y，①如果它们的和S是定值，则当且仅当x＝y时，它们的积P取得最大值，最大值为．②如果它们的积P是定值，则当且仅当x＝y时，它们的和S取得最小值，最小值为2．1．判断(正确的打“√”，错误的

2、打“×”)(1)a，b的算术平均数是，几何平均数是.(　　)(2)应用基本不等式求最值时应注意“一正、二定、三相等”．(　　)(3)若a2＋b2≥2ab对任意a，b恒成立，则a＋b≥2也对任意实数a，b恒成立．(　　)答案：(1)×　(2)√　(3)×2．若a，b∈R，且ab＞0，则下列不等式中恒成立的是(　　)A．a2＋b2＞2abB．a＋b≥2C．＋＞D．＋≥2答案：D3．已知x＞3，则x＋的最小值为(　　)A．2　　B．4C．5D．7答案：D4．若a＞0，b＞0，且a＋b＝1，则ab的最大值为________．解析：因为1＝a＋b≥2，所以ab≤.答案：　

3、利用基本不等式证明不等式[学生用书P6]　已知a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1.求证：＋＋≥9.【证明】　法一：因为a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1，所以＋＋＝＋＋＝3＋＋＋＋＋＋＝3＋＋＋≥3＋2＋2＋2＝9.当且仅当a＝b＝c时，等号成立．即＋＋≥9.法二：因为a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1，所以＋＋＝(a＋b＋c)＝1＋＋＋＋1＋＋＋＋1＝3＋＋＋≥3＋2＋2＋2＝9，当且仅当a＝b＝c时，等号成立．所以＋＋≥9.利用基本不等式证明不等式的方法与技巧(1)方法：用基本不等式证明不等式时，应首先依据不等式两边式子的结构特点进行恒等变形，使之具备基本不

4、等式的结构和条件，然后合理地选择基本不等式或其变形形式进行证明．(2)技巧：对含条件的不等式的证明问题，要将条件与结论结合起来，寻找出变形的思路，构造出基本不等式，切忌两次使用基本不等式用传递性证明，有时等号不能同时取到．　　1.已知：a、b、c、d都是正数，求证：(ab＋cd)(ac＋bd)≥4abcd.证明：由a、b、c、d都是正数得：≥>0，当且仅当ab＝cd时，等号成立．≥>0，当且仅当ac＝bd时，等号成立．所以(ab＋cd)(ac＋bd)≥abcd.即(ab＋cd)(ac＋bd)≥4abcd.当且仅当b＝c，且a＝d时，等号成立．2．已知a，b为实数

5、，求证：＋＋≥(a＋b＋c)．证明：由不等式a2＋b2≥2ab，得≥，即≥，同理≥，≥，三式相加得＋＋≥＝(a＋b＋c)．(当且仅当a＝b＝c时，等号成立)　利用基本不等式求函数最值[学生用书P6]　(1)当x＞0时，求f(x)＝的值域；(2)设0＜x＜，求函数y＝4x(3－2x)的最大值；(3)已知x＞0，y＞0，且＋＝1，求x＋y的最小值．【解】　(1)因为x＞0，所以f(x)＝＝.因为x＋≥2，所以0＜≤.所以0＜f(x)≤1，当且仅当x＝1时取“＝”．即f(x)的值域为(0，1]．(2)因为0＜x＜，所以3－2x＞0.所以y＝4x(3－2x)＝2[2x(

6、3－2x)]≤2＝.当且仅当2x＝3－2x，即x＝时，等号成立．所以y＝4x(3－2x)的最大值为.(3)因为x＞0，y＞0，＋＝1，所以x＋y＝(x＋y)＝＋＋10≥6＋10＝16.当且仅当＝，又＋＝1，即x＝4，y＝12时，上式取等号．故当x＝4，y＝12时，有(x＋y)min＝16.应用基本不等式求最值的步骤(1)首先看式子能否出现和(或积)的定值，若不具备，需对式子变形，凑出需要的定值；(2)其次，看所用的两项是否同正，若不满足，通过分类解决，同负时，可提取(－1)变为同正；(3)利用已知条件对取等号的情况进行验证．若满足，则可取最值，若不满足，则可通过

7、函数单调性或导数解决．　　1.设函数f(x)＝2x＋－1(x<0)，则f(x)(　　)A．有最大值　　B．有最小值C．是增函数D．是减函数解析：选A.因为x<0，所以f(x)＝2x＋－1＝－－1≤－2－1＝－2－1.当且仅当2(－x)＝－，即x＝－时，等号成立．故f(x)max＝－2－1.2．已知lgx＋lgy＝2，则＋的最小值为________．解析：因为lgx＋lgy＝2，所以lg(xy)＝2.所以xy＝102.所以＋＝≥＝＝，当且仅当x＝y＝10时，等号成立．答案：3．设x，y∈R＋，且2x＋8y－xy＝0，求x＋y的最小值．解：由2x＋8y－xy＝0得，

8、y＝，所以x＋y＝x＋＝