高中数学第一章直线多边形圆1.2圆与直线1.2.2圆的切线的判定和性质学案

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1、1.2．2　圆的切线的判定和性质课标解读1.掌握圆的切线的判定定理和性质定理及其推论．2．能解决与圆的切线有关的问题.1．直线与圆的位置关系当直线与圆没有公共点时，称为直线与圆相离；当直线与圆_有唯一公共点时，称为直线和圆相切；当直线与圆有两个公共点时，称为直线和圆相交．2．切线的判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．3．切线的性质定理(1)性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径．(2)推论1：经过圆心且垂直于切线的直线经过切点．(3)推论2：经过切点且垂直于切线的直线经过圆心．4．切线长定理过圆外一点作圆的两条切线，这两条切线长相等．

2、1．证明直线和圆相切有哪些方法？【提示】　通常有三种方法：(1)和圆有唯一一个公共点的直线是圆的切线；(2)到圆心距离等于半径的直线是圆的切线；(3)过半径外端且和该半径垂直的直线是圆的切线．“过半径外端，垂直于这条半径的直线是圆的切线”只是把“到圆心距离等于半径的直线是圆的切线”的定理具体化，在使用时要根据题目的具体要求选取合适的方法，如果涉及到数值计算或距离问题，通常利用(2)，如果涉及到线段的位置关系，通常选取(3)．222．在学习圆的切线性质定理时需注意什么问题？【提示】　(1)分析圆的切线的性质定理及两个推论的条件和结论间的关系，可以得出如下结论

3、：如果一条直线具备下列三个条件中的任意两个，就可以推出第三个：①垂直于切线；②过切点；③过圆心．于是在利用切线性质时，通常作的辅助线是过切点的半径．(2)圆的切线还有两条性质应当注意：①切线和圆只有一个公共点；②切线和圆心的距离等于圆的半径．在许多实际问题中，我们也利用它们来解决．3．连接圆的两条平行切线的切点的线段是圆的直径吗？【提示】　是．如图，AB、CD分别切⊙O于E、F，连接EO并延长交CD于F′.∵AB是⊙O的切线，∴OE⊥AB.∵AB∥CD，∴OF′⊥CD.∴F′为切点，∴F′与F重合，即EF是⊙O的直径．圆的切线的判定　已知：AB是⊙O的直径

4、，BC是⊙O的切线，切点为B，过点A作AD∥OC，交⊙O于点D.求证：DC是⊙O的切线．【思路探究】　利用圆的切线的判定定理进行切线的证明，关键是找出定理的两个条件：①过半径的外端；②该直线与某一条半径所在的直线垂直．【自主解答】　如图，连接OD，设∠OAD＝∠1，∠ODA＝∠2，∠BOC＝∠3，∠COD＝∠4.22∵OA＝OD，∴∠1＝∠2.∵AD∥OC，∴∠1＝∠3，∠2＝∠4.∴∠1＝∠2＝∠3＝∠4.又∵OB＝OD，∠3＝∠4，OC＝OC.∴△OBC≌△ODC.∴∠OBC＝∠ODC.∵BC是⊙O的切线，∴∠OBC＝90°.∴∠ODC＝90°，即OD

5、⊥CD.∴DC是⊙O的切线．1．在证明OD⊥CD时，借助了三角形全等，则对应角相等．2．判断一条直线是圆的切线时，常用辅助线的作法：(1)如果已知这条直线与圆有公共点，则连接圆心与这个公共点，设法证明连接所得到的半径与这条直线垂直，简记为“连半径，证垂直”；(2)若题目未说明这条直线与圆有公共点，则过圆心作这条直线的垂线，得垂线段，再证明这条垂线段的长等于半径，简记“作垂直，证半径”．　图1－2－20如图1－2－20，已知AC是⊙O的直径，OE⊥AD.OF⊥AB，E、F为垂足，OE＝OF.AC是AD和AB的比例中项．求证：BC是⊙O的切线．【证明】　∵OE

6、⊥AD，OF⊥AB，OE＝OF，22∴∠1＝∠2.又∵AC2＝AD·AB，∴＝，∴△ACD∽△ABC，∴∠ACB＝∠ADC.∵AC是⊙O的直径，∴∠ADC＝90°，∴∠ACB＝90°，∴BC⊥AC，∴BC是⊙O的切线．圆的切线的性质图1－2－21　如图1－2－21所示，已知AB是⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于点C，AC平分∠DAB，AD⊥CD.(1)求证：OC∥AD；(2)若AD＝2，AC＝，求AB的长．【思路探究】　(1)要证OC∥AD，只需证明OC⊥CD.(2)利用△ADC∽△ACB可求得．22【自主解答】　(1)证明：如图所示，连接BC.∵CD为⊙

7、O的切线，∴OC⊥CD.又AD⊥CD，∴OC∥AD.(2)∵AC平分∠DAB，∴∠DAC＝∠CAB.∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.又AD⊥CD，∴∠ADC＝90°，∴△ADC∽△ACB.∴＝，∴AC2＝AD·AB.∵AD＝2，AC＝，∴AB＝.221．本例中第(2)小题是通过三角形相似来寻找AD、AC与AB之间关系的．2．利用圆的切线的性质来证明或进行有关的计算，有时需添加辅助线，其中连接圆心和切点的半径是常用辅助线，从而可以构造直角三角形，利用直角三角形边角关系求解，或利用勾股定理求解，或利用三角形相似求解等．如图1－2－22，圆O1与圆O2内

8、切于点A，其半径分别为r1与r2(r1＞r2)，圆O1的弦AB交圆