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《高等数学典型例题详解第十一章》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、例1求通解为)=q"+C2兀的微分方程，其屮q、C2是任意常数.分析所给通解表达式屮禽两个任意常数，故所求的方程应该是二阶的.解由y==解得q=L，c°=y'-y",将C[,c,代入y=c0+c*整e理得(x-1)/-小'+)•，=(),此即为所求微分方程.例2试证y=c^-3x-｝是方程/-9y=9的解，但不是它的通解，其中qq是任意常数.分析这类题验证所给函数是相应微分方程的通解或解，只需求出函数的各阶导数,代入微分方程，看是否使微分方程成为恒等式.证y=c^~3x-l可以写成y=cxec-xe~3x-1,记c=c,e＜，2,则有),=迂"-1,将其代入方程/-9y=9得左端=(ce~
2、3x-1)”-9(ce~3x-1)=(-3c严),_9c严+9=9ce~3x-9ce'3x+9=9三右端，所以y=C]e^3x-｝是方程的解，由于解中只含冇一个独立的任意常数，故它不是该方程的通解.注需要弄清楚解、通解的定义，通解屮独立常数的个数应与方程的阶数相同.例3求下列微分方程的通解：(1)xyy'=(x+a)(y+h)；(2)xy'-j[ln(xy?)-1]=0.分析在求解微分方程时，首先要判断方程的类型，然后根据不同类型，确定解题方法.解(1)方程两端同时除以兀(y+b),则冇y+方x积分得y-by+b=x+ainx+cl,故通解为
3、兀
4、"
5、y+bf=C»r,而)匸-
6、b是方程的解，如果在上述通解中允许C=0,则y=-b也包含在该通解中，因而，原方程的通解是
7、琲
8、歹+卵=0宀，其小C是任意常数.(1)令“=与，则有u=y+与‘，代入原方程得u_y_y(lnw-1)=0,即u^ylnu,所以，u^-lnu,分离变量得出=竺，于是xuInuxIn
9、ln“
10、=In
11、兀
12、+lnq,即有料=q,晋=±$，得通解ln(Ay)=Cx(这里C=±c)).注1如果题目要求是求方程的所有解,本题(1)中,当用兀(y+坊去除方程时,可能导致方程失去满足兀(y+b)=0的解，即y=-b,所以要对此解进行分析.注2当方程中出现f(xyf(x±ylf(^)等形式的项吋，相应地，通
13、常要做如下一些变量替换u=xyyu=兀打，u=—等.X例4解方程字“cos兀，并求满足初始条件也=1时的特解.解分离变量得£=cosxd天,两边积分则有y1——=sinx+c,y从而可得通解为1y=:sinx+c(其中C是任意常数).另外，方程还冇解y=0,不包含在该通解中，故需补上.为了求特解，将兀=0,)=1代入通解得c=-l,故所求的特解为1=•1-sinxft/[f(u)du例5(01研)设函数/(x)在(0,+8)内连续，/(1)=号，且对任意x,/w(0,+oo)有=qf(u)du+虬/(u)du‘求/(x).分析条件给出了一个积分方程且含有变上限积分，通常是对积分方程两边求导
14、,将积分方程转化为解微分方程.解此微分方程，并利用已知条件即可求出函数/(X).解在等式jf(u)du=f(u)du+xjf{u)du两端关于/求导，得灯(力)=J；f(u)du+,令21可得xf(x)=J；f(u)du+V/l)，山于/(1)=丿，从而有CX5jf(u)du+-x,对上式两端关于兀求导，得/(兀)+夕(兀)=/(")+*,即fx)=A,所以2x/(x)=
15、lnx+C,将/⑴=◎代入上式’得c=—,故22/(x)=
16、(lnx+l).例6(98研)已知函数y=y(x)在任意点x处的增量yAx1+x2且当心->()时，Q是Ax的SJ阶无穷小，y(O)=71,则y(l)等于()
17、•A.2兀•B.7i.C.戶.D.nJ・分析由微分定义及原题设町知dy=卫二，解此方程可求得yW,进而可求得1+JTy(i)・解法1由于Ay=+a,且当心->0吋，a是心的髙阶无穷小，由微分的定「1+X义可知即,1+f1+JTy1+x两边枳分得In
18、y
19、=arctan兀+C,即y=Cem,其屮C=±eCx.由y(O)=71,则有C=71.于是y(l)=^arctanl=7re4,故选D・解法2等式4券+a两边除以从并令"。，得恤冬=亠+亦皀,xtoAx1+fxto心即©=宀，以F过程同解法1・dx1+AT例7求方程xy?+y=2y[xy的通解.分析原方程可化为齐次方程y+2=2E；也可写成
20、)「+丄还可换元XXXyjxxy=u.解法1将方程化为齐次方程y+2=2E,令上=〃，则有卩》+曲，代入原方xVxx程得U+XU+M=2y[u,于是积分得—dx+xdu运(运_1)dxd4u_;+右=In
21、x
22、+In
23、yfu-11=C「将上二〃代入该式，故通解为Jxy-x=C（这里C=±ee'）.解法2原方程可写成y^-yX为2丄时对应的伯努利方程，令"员,得线性方程dz111Z=_7=*ydx2xy/x由一阶非齐次线
