高等数学典型例题详解第八章

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1、例1求一y2dxdy,其中D={(x,y)

2、x24-y2<«2,x>0,y>0,a>0}・D图8-1分析/（X,y）=yja2-X2-y2在£）上非负，如图8—1所示，其对应图形是以原点为小心、a为半径的上半球面；D是以xOy面上原点为中心、0为半径的岡域在第一象限的部分.根据被积函数和积分区域的特点，可考虑用儿何意义或极坐标进行计算.解法1根据二重积分的几何意义，卜；_兀2_〉,2如）,就是以原点为中心、d为半径的球体在第一卦朿部分的体积，所以[fJa2-x2-y1dxdy=-•—tio'-—Tta1・尸-

3、836解法2采丿IJ极坐标直接进行计算.rr令兀=pcos0,y=°sin0,贝ijD={(x,y)O厶>厶•图8-2A(x-2)2+(y-l)2=lA.I{>12>厶・B./)<

4、/2/3>/2.不同的被积函数在积分区域上进行比较.分析要比较二重积分值的大小，根据性质4,是耍对解选B.如图8-2所示，当(x,y)eD时，1S53,05)12.因此，15x+y55,故有l<(x+y)<(x+>')2由二重积分的性质即得7,=

5、(x,>9分析此题若先求二重积分，再求极限比较闲难，可以考虑借助积分中值定理来求解.解区域£＞的面积为SD=nr.因为f（x.

6、y）=cos（x+y）在闭区域£＞上连续,由积分屮值定理可知，至少存在一点使得—ff“rcos(x+y)dxdy=~^er~ncos($+〃)•S°=e^'~n'cos(歹+“).7tr~■■7Tf'~令厂一＞0”，贝I」（的）t（0,0）,故例4利用重积分的性质估计积分/=ffdb的值，其中100+cosx+cosyD={（x,y）

7、

8、x

9、+

10、y

11、<10}・图8-3分析根据二重积分的性质对被积函数在积分区域上进行估计.解法1利用被积函数在积分区域上的单调性估值.积分区域如图8-3所示.由于0

12、,0

13、x2-l及直线y=-x所围成;（2）由牙=0与曲线『=兀2+1以及y=2x所围成.解（1）区域D如图8—4所示.卜•面用两种方法來求解.解法1若将区域D看作X-型区域，即先对y积分，再对兀积分，首先将区域D向兀轴投影，得x轴上的区间[-2,1],则变量兀满足-2

14、<一1—兀厂25兀51},于是/=口

15、/（兀,y^dxdy=必[：：/（x，y）dy.解法2若将区域D看作Y-型区域，即先对兀积分，再对y积分，用上述“穿线法”时注意到当y在［-1,3］中变化时，穿出时经过的边界曲线有两条，因此需要把D划分为两部分={(x,y)-y［y+i

16、y)12x