高等数学典型例题详解 第一章

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1、例1已知，，求的解析式及其定义域．解依题意得=，=．由可知．故=，．例2设，．求．解（1）由得即，所以时=．（2）由即得．所以时，=．故．例3设，．试求，．解（1）由于，且仅当时，；时，．则．（2）当时，．故，．于是，．注函数复合类似“代入”，但应注意定义域的变化．复合后要写下复合函数的定义域．由于复合函数是微积分研究的主要对象之一，读者应熟练掌握复合函数的概念．例4设，，均为单调递增函数，且．证明：．证明由题设可知，，则由上述不等式可得．注此处多次利用函数单调性的定义．例5下述说法中与的定义等价的是（）．A．，当时，有．B．，当时，有．C．，当时，有．D．，

2、当时，有．解的定义：对于数列，存在常数，使得对于任意给定的正数（不论它多么小），存在自然数，使当时，不等式恒成立．A与上述定义等价，因为具有任意性，也具有任意性．B因为不能保证为任意小，从而由不能保证与无限接近．C中的是存在性，与定义不符．D如果存在自然数，使对，当时有，这说明数列有极限，说明D是上述定义的充分条件．但反之如果，不一定能找到那样的（它可能与无关．这一要求比与有关的要求更高），使对任意，当时，都有，因为在定义中是依赖于的给定而确定的．因而D不是上述定义的必要条件．故选A．例6（03研）设、、均为非负数列，且注：03研表示2003年考研真题，以下同

3、.，，，则必有（）．A．对任意成立．B．对任意成立．C．不存在．D．不存在．解法1由数列极限的定义，数列的极限关心的是在某个（足够大）之后的性质，前面的有限多项则无关紧要．因此A、B中“任意”的条件显然不成立．“”型的极限是未定式，C不成立，故选D．事实上，当，时，由无穷大量的定义得到．解法2举反例：取，，，则可以直接排除A、B、C．例7当时，函数的极限（）．A．．B．．C．．D．不存在且不为．分析左、右极限存在且相等，是函数极限存在的充要条件．本题中函数为两个因式的乘积，易求出，所以解本题的关键是因式．解因，而，．故，．所以选D．例8求．分析所求极限中有根式

4、．通常需要对分子或分母有理化．有时甚至需要对分子分母同时有理化．本题需对分子有理化．解====．例9求．解法1分子分母有理化．则有===．解法2注意到该极限属于型，可用洛必达法则，从而===．注解法2用到的洛必达法则属于第三章的内容．例10求．分析所求极限中分子与分母都有根式，通常需要有理化，但本题如果对分子分母同时有理化则很难求解，注意到该极限属于型．考虑分子分母同时除以的最高次幂．解法1由于，则．函数的分子分母同时除以得==．解法2运用变量代换，令，则===．错误解答==．错解分析错误的原因在于没有注意到的变化过程，而将被求极限函数分子分母同时除以导致错误

5、出现．在解题过程中，最好用解法2则可避免出错．例11已知．试求常数、、中的和．分析本题极限中出现根式可优先考虑有理化．然后利用极限运算性质来分析极限运算过程，尤其是无穷小与无穷大的相关运算性质，即可解决问题．解法1分子有理化可得===，如果，则，故要使，必须有．于是，得，．解法2由题意有．当时，由于=，若，则．所以，即．由=，可得．所以，．例12求．分析当时，与的极限都不存在．尽管出现了根式，但无法直接有理化．应先利用三角函数的和差化积，然后再求解．解因为=，又，即为有界量．且===，即为时的无穷小量．根据有界量与无穷小的乘积仍为无穷小这一性质可知：=．例13

6、求下列极限：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）．解（1）由重要极限知．（2）时，为有界量．故=．（3）时，为无穷小量，为有界变量．故=．（4）解法1时，．故=．解法2令，则由知．故=．（5）解法1时，，为有界量．故=．解法2时，．．故=．（6）时，．不定．取子列，则时，．另取子列，则时，，．故不存在．注在求极限时，一看自变量的变化过程，二看函数的变化趋势，准确判断极限类型，正确使用重要极限公式，充分利用有界量与无穷小的乘积仍为无穷小这一性质，对解题将大有帮助．例14求下列极限：（1）；（2），其中为常数且；（3）．分析极限若为型，且含有三角函数或反

7、三角函数，可尝试运用重要极限．解（1）解法1运用重要极限．====．解法2===．解法3运用洛必达法则，则======．错误解答时，，故==．错解分析错误原因在于错误地使用了等价代换．并不与等价，而是与等价．在极限的和差运算中要慎重使用等价代换，一定要确保所做代换是等价代换．（2）解法1运用重要极限．=====．解法2利用无穷小的等价替换：时，，．=====．解法3利用．由于当时，，从而有，，．===．解法4用洛必达法则．=．（3）解法1运用重要极限．====．解法2　利用等价无穷小的替换定理．====．解法3　利用分子有理化和等价无穷小的替换定理．===．解

8、法4分母先作等价替换，然后用洛必达法则