高等数学典型例题详解第四章

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1、例1求下列不定积分.(1)(2)j(Vx4-1)(>Z?-1)^.分析利用幕函数的积分公式xndx=-^x^+C求积分时，应当先将被积函数中幕函数写成负指数幕或分数指数幕的形式.(1).上159訂兀2心77^宀2"「山6(2)j([x+l)(/x^-X)dx=j(x2+兀亍一/-l)dx=—x3+—x1-—x1-x+C.5求((兀+十)也.将被积函数的平方展开，可化为幕函数的和.解J(x+-^)2=[(x2+2,+—)dx=f^dx+f2x'XX分析(1)1.41=—jc+—x2+x+C.33求下列不定积分.

2、r2-ex-5-2'』clx.3/+3/+17ax•⑵JF+l分析(1)将被积函数拆开，用指数苗数的积分公式；(2)分子分母都含有偶数次幕,将其化成一个多项式和一个真分式的和，然后即可用公式.(2)(1)2(-)(1)『C%=2冏仏-5J(弓仏=3求下列不定积分.1+对+兀“-—cbc.Jx2(l+x2)(2)分析5-(

3、r——+C.l-ln3In2-In3甘"+s+c.(3)兀2(1+兀2严根据被积函数分子、分母的特点，利川常川的恒等变形，例如：分解因式、直接拆项、“加零”拆项、指数公式和三角公式等等，将被积函数分解

4、成几项Z和即可求解.1+x*+x4.r八11-对1+对；；^=JaJT(1+AT)J=[心+f—^—dxJJx2J1+x2=xarctanx+C,X⑵(厶山訂Xj)»d兀J1+x2J解(1)1+x2_f(F-1)(兀彳+1)+1必"J1+兀$訂X-1皿+J占dx13=—x—兀+arctanx+C.3(3)(1)求下列不定积分.(!dx.31+cos2xcos2x.ax.cosx-sinx(3)(4)cos2x,dx•sin*xcosx分析当被积函数是三角函数时，常利用一些三角怛等式，将其向基木积分公式表屮有的形式转化，

5、这就要求读者要牢记基木积分公式表.(1)-——dx14-cos2x(2)cos2xfccdx=Jcosx-sinxJ=fdx=—tanx+C•J2cos*x29・9cosx-sin"xfdxcosx-sinx=

6、(cosx+sinx)dx=sinx-cosx+C.(3)jcot2xdx=j(esc2x-)dx=-cotx-x+C•(4)・r2sin"兀cosx———dxCOS^X(1)J(7兀-9)99必.(2)jx(ox:2+b)'1dx.(qhO)(3)J(cosF严•(4)-t=-!dx.Vx(l+x)(5

7、)(7)j—sin(lnx)dx.cosxdx(6)Jsin，x-6sin12(8)I*Acos(丄皿.JfXf；~dx.Jcos2xvl-tan2xrcos2x.rcos2x-sin'xrJk卩严訂―心=Jesc2xdx-jsec2xdx=-cotx-tanx+C・求下列不定积分.(11)1+x2分析(2)(3)这些积分都没有现成的公式可套用，需要用第一类换元积分法.(1)J(7x-9)"=(7x-9)"cl(lx一9)=金(7兀一9),0°+C・[x(cvc2+h)"dx=—[(ax2+b)"df^ax2+Z?)=

8、(ax2+b芦+C.J2aJ2a(n+l)fX21「心=一■〈J(cosx’T3j(cosr)各丄aE+c.曲233x+(arctanx)2fdx•(4)(5)(7)(8)(9)J丄sin(lnx)dx=jsin(lnx)J(lnx)=-cos(lnx)+C.f-^cos—dv=-[cos—J(—)=-sin—+C.JXXJXXXrcosazZtr〃(sin兀一3)1sinx-3_——==arctan亍—+C•Jsiir兀一6sin;t+12J(sinx—3)~+3丁3I3J——-——/I,=

9、/1,=d(tanx)

10、=arcsin(tanx)+C.Jcos2xvl-tcin2xJvl-tan2x]+/cotx丄丄J―—dx=-J11+(cotxYd(cotx)=-j6/cotx-j(cotxYdcotx2-=-cotx-—(cotx)2+C・(10)arcsinx_rarcsjn2xr/(arcsjn兀)=A(arcsinx)3+C.vl-x23(11)x+(arctanx)2.rx,(arctanx)2fax1+jt=*J】)+J(arctanxYd(arctanx)12-=—ln(l+x2)+—(arctanx)2+C.2

11、5注用第一类换元积分法(凑微分法)求不定积分，一般并无规律可循，主要依靠经验的积累•而任何一个微分运算公式都可以作为凑微分的运算途径.因此需要牢记基本积分公式，这样凑微分才会有目标.下而给出常见的12种凑微分的积分类型.(1)f{axn+b)xn'{dx=—ff(axn+b)d{axn+b)(a工0)；JnaJfdx=l[―_=