资源描述：
《高等数学典型例题详解第三章》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、例1验证函数/(兀)=壮2(1一兀2)在［0,1］上满足罗尔定理的条件.解因/(X)是在［0,1］上有定义的初等函数，所以/⑴在［0,1］±连续，口0（1-无2）3在(0,1)内存在；/(0)=/(1)=0.故/(尤)在LO,1J±满足罗尔定理的条件，山定理知至少存在一点化(0,1)使广©=0.即1一2孑=0,于是解得,-^6(0,1).例2已知函数/(兀)在［0,1］上连续，在(0,1)内可导，且/•⑴=0,求证在(0,1)内至少存在一点§使等式f©=_哼成立.分析耍证.厂©=-爷成立，即证+=即=0,作辅助函数F(x)=xf(x),对F(兀)在区间［0,1］上应用罗尔定理.证明
2、设F(x)=xf(x),则它在［0,1］上连续,在(0,1)内可导,且F(0)=F(l)=0・由罗尔定理知至少存在一点兵(0,1)使得F©=0,即/@)=_与.证毕.例3设f(x)在［a,b］上连续，在(a,h)内可导，且/(«)=f(h)=0,证明对于任意实数A,在⑺上)内至少存在一点§,使得门。=-2/(0・分析要证广©+好©=0,即证严［广©+好©］=0,即［0(广(兀)+2/(x))］咯=0,即证［护/(兀)］'
3、吗=0，作辅助函数F(x)=/V(x),并对FM在区间S,b］上应用罗尔定理.证明令F(x)=eAxf(x)f易知F(x)在［讪上连续，在⑺上)内可导，且F⑷=F
4、(b)=0,由罗尔定理知，至少存在一点兵@力)，使尸©=0,即严［/@)+心©］=0,而严H0,故广©+对©=0,BP#©=-"©,化(讪•证毕.注证明至少存在一点满足抽象函数一阶或二阶导数的关系式，且题中没有给岀函数关系式的命题时，川罗尔定理证明的方法和步骤：(1)把要证的屮值等式改写成右端为零的等式，改写后常见的等式有广©g©+/W©=o,gf©-kf©=0,广©±兄/©=0,/®）g©/'©±/W©=0等等.(2)作辅助函数F(劝，使F(勺等于上述等式的左端.对于(1)中所述等式，分别对应辅助两数F(x)为F(x)=xf(x),FM=f(x)g(x),F(x)-f(x),XF
5、(x)=々),XF(x)=/⑴,g(x)F(x)=fx)g(x)-f(x)gXx),F(x)=e^f(x),F(x)=e±8Mf(x).(1)在指定区间上对F(x)应用罗尔定理证明.例4设兔吗，…心为满足绳+鱼+《+•••+厶二0的实数,证明：方程23n+1a0+a}x+a2x2+a3x3+…+anxn=0在(0,1)内至少有一个实根.分析函数/(x)=aQ+alx+a2x2+咛’+•••+%"虽然在［0,1］上连续，但是难以验证/(x)在［0,1］的某个子区间的端点处的函数值是否界号，所以不能用闭区间上连续函数的零点定理，但发现函数F(x)=+鱼兀2+鱼兀3+...+竺兀⑷在兀
6、=1处的值为23n+1尸⑴=4)+牛+牛+…+-^7=0,23n+i且F(0)=0,所以该命题可以用罗尔定理來证.证明作辅助函数尸(兀)二％v+鱼/+鱼兀3+...+厶才+i,显然尸⑴在［0,1］上连续,23/?+1在(0,1)内可导且F(0)=0,F(l)=q)+《+生+・・・+厶=0.对F(x)在区间［0,1］上应用罗237?+1尔定理，则至少存在一点gw(0,1),使得尸(§)=0,即do+ag+_+偽§~4—+a”了=0,即方程a0+atx+a2x2+a^x3+•••+%:"=0在(0,1)内至少有一个实根§.证毕.注关于f(x)=0的根(或/(对的零点)的存在性的两种常用
7、证明方法证法1如果只知/(力在［°,刃或(d,b)上连续，而没有说明/(x)是否可导，则一般用闭区间上连续函数的零点定理证明；证法2先根据题冃结论构造辅助函数F(x),使得F(兀)=/(兀)，然后在指定区间上验证F(x)满足罗尔定理的条件，从而得111/(x)的零点存在性的证明.例5若/(x)在［-1,1］±有二阶导数,_iL/(0)=f(1)=0,设F(x)=x2f(x),则在(0,1)内至少存在一点使得F"©=0.分析要证严©=0,只要证在F'(x)区间［0,1］上满足罗尔定理，关键是找到两个使尸(兀)相等的点.此外，该题述可以用泰勒公式证明.证法1(用罗尔定理证)因为F(x)
8、=x2f(x)，则Fx)=2xf(x)+x2f(x).因为/(0)=/(I)=0,所以F(0)=F(l)=0.FCr)在［0,1］上满足罗尔定理的条件，则至少存在一点§w(0,l)使得F《)=0,而F(0)=0,即F(0)=F©)=0・对F©)在［0,知上用罗尔定理,则至少存在一点兵(0,蔬)使得F®)=0,而兵(0,§)u(0,l),即在(0,1)内至少存在一点§，使得F"(§)=0.证毕.证法2(用泰勒公式证)F(x)的带有拉格朗口型余项的一阶麦克劳林公式为F(
