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时间:2019-09-21
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1、椭圆的标准方程与性质教学目标:1 了解椭圆的实际背景,了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用;2 掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质.高考相关点:在高考中所占分数:13分考查出题方式:解答题的形式,而且考查方式很固定,涉及到的知识点有:求曲线方程,弦长,面积,对称关系,范围问题,存在性问题。涉及到的基础知识1.引入椭圆的定义在平面内与两定点F1,F2的距离的和等于常数(大于
2、F1F2
3、=2c)的点的轨迹叫做椭圆.这两定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.集合P={M
4、
5、MF1
6、+
7、MF2
8、=2a},
9、F1F2
10、=2c,其中
11、a>0,c>0,且a,c为常数:有以下3种情况(1)若a>c,则集合P为椭圆;(2)若a=c,则集合P为线段;(3)若a<c,则集合P为空集.2.椭圆的标准方程和几何性质标准方程+=1(a>b>0)+=1(a>b>0)图形性质范围-a≤x≤a-b≤y≤b-b≤x≤b-a≤y≤a对称性对称轴:坐标轴;对称中心:原点顶点A1(-a,0),A2(a,0)B1(0,-b),B2(0,b)A1(0,-a),A2(0,a)B1(-b,0),B2(b,0)轴长轴A1A2的长为2a;短轴B1B2的长为2b焦距
12、F1F2
13、=2c离心率e=∈(0,1)a,b,c的关系c2=
14、a2-b2题型总结类型一 椭圆的定义及其应用例1:如图所示,一圆形纸片的圆心为O,F是圆内一定点,M是圆周上一动点,把纸片折叠使M与F重合,然后抹平纸片,折痕为CD,设CD与OM交于点P,则点P的轨迹是( )A.椭圆B.双曲线C.抛物线D.圆【解析】根据CD是线段MF的垂直平分线.可推断出,进而可以知道结果为定值,进而根据椭圆的定义推断出点P的轨迹【答案】根据题意知,CD是线段MF的垂直平分线.,(定值),又显然,根据椭圆的定义可推断出点P轨迹是以F、O两点为焦点的椭圆.所以A选项是正确的练习1:已知F1,F2是椭圆C:(a>b>0)的两个焦点,P为椭
15、圆C上的一点,且1⊥,若△PF1F2的面积为9,则b=________.【解析】由题意的面积∴故答案为:【答案】3练习2:已知F1,F2是椭圆+=1的两焦点,过点F2的直线交椭圆于A,B两点,在△AF1B中,若有两边之和是10,则第三边的长度为( )A.6B.5C.4D.3【解析】由椭圆方程知,椭圆的长轴,则周长为16,故第三边长为6.所以正确答案为A.【答案】A类型二 求椭圆的标准方程例2:在平面直角坐标系xOy中,椭圆C的中心为原点,焦点F1,F2在x轴上,离心率为.过F1的直线l交C于A,B两点,且△ABF2的周长为16,那么椭圆C的方程为___
16、_____.【解析】设椭圆方程为+=1(a>b>0),由e=,知=,故=.由于△ABF2的周长为
17、AB
18、+
19、BF2
20、+
21、AF2
22、=
23、AF1
24、+
25、AF2
26、+
27、BF1
28、+
29、BF2
30、=4a=16,故a=4.∴b2=8,∴椭圆C的方程为+=1.【答案】+=1练习1:设F1,F2分别是椭圆E:x2+=1(0
31、AF1
32、=3
33、F1B
34、,AF2⊥x轴,则椭圆E的方程为________.【答案】x2+3y2/2=1类型三 椭圆的几何性质例3:如图,在平面直角坐标系xOy中,A1,A2,B1,B2为椭圆的四个顶点
35、,F为其右焦点,直线A1B2与直线B1F相交于点T,线段OT与椭圆的交点M恰为线段OT的中点,则该椭圆的离心率为________.【解析】直线A1B2的方程为+=1,直线B1F的方程为+=1,二者联立,得T(,),则M(,)在椭圆+=1(a>b>0)上,∴,c2+10ac-3a2=0,e2+10e-3=0,解得e=2-5.【答案】2-5练习1:已知A、B是椭圆+=1(a>b>0)和双曲线-=1(a>0,b>0)的公共顶点.P是双曲线上的动点,M是椭圆上的动点(P、M都异于A、B),且满足+=λ(+),其中λ∈R,设直线AP、BP、AM、BM的斜率分别记为
36、k1、k2、k3、k4,k1+k2=5,则k3+k4=________.【解析】设出点P、M的坐标,代入双曲线和椭圆的方程,再利用已知满足及其斜率的计算公式即可求出.【答案】∵A,B是椭圆和双曲线的公共顶点,∴(不妨设)A(-a,0),B(a,0).设P(x1,y1),M(x2,y2),∵,其中λ∈R,∴(x1+a,y1)+(x1-a,y1)=λ[(x2+a,y2)+(x2-a,y2)],化为x1y2=x2y1.∵P、M都异于A、B,∴y1≠0,y2≠0.∴.由k1+k2==5,化为,(*)又∵,∴,代入(*)化为.k3+k4==,又,∴,∴k3+k4=
37、==-5.故答案为-5.类型四 直线与椭圆的位置关系例4:(2014·四川卷)已
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