椭圆的标准方程与几何性质.doc

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1、椭圆的标准方程与几何性质★知识梳理★知识点一：椭圆的定义平面内与两定点F1，F2距离的和等于常数的点的轨迹叫做椭圆，即点集M={P

2、

3、PF1

4、+

5、PF2

6、=2a，2a＞

7、F1F2

8、=2c}；这里两个定点F1，F2叫椭圆的焦点，两焦点间的距离叫椭圆的焦距2c。（时为线段，无轨迹）。知识点二：椭圆的方程1．当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中椭圆的焦点坐标为，；2．当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中；椭圆的焦点坐标为，3.椭圆的一般方程：.4.焦点在轴上时（）（参数方程，其中为参数）知识点三：椭圆　的简单几何性质（1）对称性：椭圆：是以轴、轴为对称轴的轴对称图形，并且是以原点为对称

9、中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心。（2）范围：椭圆上所有的点都位于直线和所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足，。（3）顶点：①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。　②椭圆与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别为，，，　　③线段，分别叫做椭圆的长轴和短轴，,。和分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。（4）离心率：我们把椭圆的焦距与长轴长的比，即称为椭圆的离心率，记作e（），是圆；e越接近于0（e越小），椭圆就越接近于圆;e越接近于1（e越大），椭圆越扁；（5）焦半径公式（1）；；；（2）最大距离，最小距离；；；（6）焦点三角形（椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成

10、的三角形）问题：（1）已知椭圆方程，焦点为，，是椭圆上一点，最大角（2）已知椭圆方程，焦点为，，是椭圆上一点的面积．，当即为短轴端点时，的最大值为bc；（3）·的取值范围以及

11、PF1

12、·

13、PF2

14、的取值范围问题（7）．点与椭圆的位置关系：（1）点在椭圆外；（2）点在椭圆上＝1；（3）点在椭圆内知识点四：椭圆与的区别和联系标准方程图形性质焦点，，焦距范围，，对称性关于轴、轴和原点对称顶点，，轴长长轴长=，短轴长=离心率焦半径，，注意：椭圆，的相同点：形状、大小都相同；参数间的关系都有和，；不同点：两种椭圆的位置不同；它们的焦点坐标也不相同。★典型例题★一.椭圆定义：１．方程化简的结果是

15、2．若的两个顶点，的周长为，则顶点的轨迹方程是3.已知椭圆=1上的一点P到椭圆一个焦点的距离为3,则P到另一焦点距离为二．利用标准方程确定参数1.若方程+=1（1）表示圆，则实数k的取值是.（2）表示焦点在x轴上的椭圆，则实数k的取值范围是.（3）表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围是.（4）表示椭圆，则实数k的取值范围是.2.椭圆的长轴长等于，短轴长等于,顶点坐标是,焦点的坐标是,焦距是，离心率等于,3．椭圆的焦距为，则=。4．椭圆的一个焦点是，那么。三．待定系数法求椭圆标准方程1．若椭圆经过点，，则该椭圆的标准方程为。2．焦点在坐标轴上，且，的椭圆的标准方程为3．焦点在轴上

16、，，椭圆的标准方程为4.已知三点P（5，2）、（－6，0）、（6，0），求以、为焦点且过点P的椭圆的标准方程；变式：求与椭圆共焦点，且过点的椭圆方程。四．焦点三角形1．椭圆的焦点为、，是椭圆过焦点的弦，则的周长是。2．设，为椭圆的焦点，为椭圆上的任一点，则的周长是多少？的面积的最大值是多少？3．设点是椭圆上的一点，是焦点，若是直角，则的面积为。变式：已知椭圆，焦点为、，是椭圆上一点．　若，求的面积．五．离心率的有关问题1.椭圆的离心率为，则2.从椭圆短轴的一个端点看长轴两端点的视角为，则此椭圆的离心率为3．椭圆的一焦点与短轴两顶点组成一个等边三角形，则椭圆的离心率为4.设椭圆的两个焦

17、点分别为F1、、F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F1PF2为等腰直角三角形，求椭圆的离心率。5.在中，．若以为焦点的椭圆经过点，则该椭圆的离心率．最值问题：1.椭圆两焦点为F1、F2，点P在椭圆上，则

18、PF1

19、·

20、PF2

21、的最大值为_____，最小值为_____2、椭圆两焦点为F1、F2，A(3，1)点P在椭圆上，则

22、PF1

23、+

24、PA

25、的最大值为_____，最小值为___3、已知椭圆，A(1，0)，P为椭圆上任意一点，求

26、PA

27、的最大值最小值。★巩固训练★1已知F1(-8，0)，F2(8，0)，动点P满足

28、PF1

29、+

30、PF2

31、=16，则点P的轨迹为()A圆B椭圆C线段D

32、直线2、椭圆左右焦点为F1、F2，CD为过F1的弦，则CDF1的周长为______3已知方程表示椭圆，则k的取值范围是()A-10Ck≥0Dk>1或k<-14、求满足以下条件的椭圆的标准方程(1)长轴长为10，短轴长为6(2)长轴是短轴的2倍，且过点(2，1)(3)经过点(5，1)，(3，2)5、若⊿ABC顶点B、C坐标分别为(-4，0)，(4，0)，AC、AB边上的中线长之和为30，则⊿ABC的重心G的轨迹方程为______________