专题39+空间向量及其运算（教学案）-2019年高考数学（理）一轮复习精品资料

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1、1.了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示;2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示；3.掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能用向量的数量积判断向量的共线和垂直.重点知识梳理1.空间向量的有关概念名称概念表示零向量模为0的向量0单位向量长度(模)为1的向暈相等向量方向相同且模相等的向量a=b相反向量方向相反且模相等的向量a的相反向量为一日共线向暈表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合a//b共面向量平行于同一个平面的向量2.共线向量、共面向量定理和空间向量基本定理(1)共线向量定理：对空间任意两个向量日，,a//b的充要条件

2、是存在实数人，使得a=Ab.(2)共面向量定理：若两个向量a,&不共线，则向量p与向量a,b共jffiu*存在唯一的有序实数对匕,y),使p=xa+yb.(3)空间向量基本定理：如果三个向量日，b、c不共面，那么对空I'可任一向量p,存在有序实数组｛/,y,z｝,使得p=xa+yb+zc,把｛日，b,c｝叫做空间的一个基底.3.空间向量的数量积及运算律(1)数量积及相关概念①两向量的夹角已知两个非零向量a，b,在空间任取一点0,作OA=a,OB=b,则GOB叫做向量曰与方的夹角，记作〈日，方〉，其范围是0W3,0〉Wji，若2,方〉=y,则称日与方互相垂直，记作8丄方.②两向量

3、的数量积己知空间两个非零向量a,by则

4、a

5、bcos〈$,方〉叫做向量a,b的数量积，记作a•b,即8・b=a\方

6、cos+c)=a•b+a•c.2.空间向量的坐标表示及英应用设0=(®,色，&),b=(h,&).向量表亦坐标表示数量积a■b^bi+a^+aibi共线a=人〃(bHO)d=bl9&2=入臼3=久厶垂直a•b=0(aHO,bHO)日"1+曰2厶+03厶=0模Ia寸#+£+云夹角(a,b}(日HO,0HO)/八<31&+<32&+^&

7、cos

8、用己知向量来表示未知向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键.要正确理解向量加法、减法与数乘运算的儿何意义.首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量.在立体几何中三角形法则、平行四边形法则仍然成立.【变式探究】三棱锥—肋C屮，仏N分别是如必的屮点，0是△肋C的重心，用基向量荷，亦0C表不肘G,0G.解~MG=MA+AG=^OA+^=

9、Zm+

10、(^-04)］賞21—►—►f=^OA+-^{OB+OC)—0A疑丽+址=顷一颠+物+范=^a4+^0B+^0C.高频考点二空间向量的坐标运算例2、已知空间三点力(一2,0,2),M-1,1,2),6*(

11、-3,0,4),设a=AB,b=AC.―A⑴若

12、c=3,且c//BC>求c；⑵求臼和方的夹角的余眩值；⑶若ka+b与ka—2b互相垂直，求k的值.解(iy：diBC?f.c=mBC=m{—2?一1,2)=(—2加＞一朋2/n)・••・

13、4=7{—2用)2+{—对+{2哪=3

14、删=工.m=±1..：c=(-2,一1,2)或c={2,l,-2).(2)Va=(1,1,0),方=(一1,0,2),:丄・方=(1,1,0)・(一1,0,2)=一1,又

15、日

16、=-/12+12+02=^/2,Ib=~—=&，•cosab)―…—二L__迥・・cosZ,b)—同国—倾—1()•••亠

17、和b夹角的余弦值为一乂更.(1)・・•肋+方=(£一1,丘2),肋一2力=(£+2,k,-4),・・・(&—1,心2)・(k+2,k,—4)=(k—1)(&+2)+护一8=0.・・・k=2或&=—[5即当ka+b与ka—2b互相垂直时，k=2或A=—-【方法技巧】空间向量的坐标表示主要应用于向量平行、垂直、向量的模、向量的夹角，在研究儿何问题中只要建立适当的坐标系，把空间几何体中涉及的直线和平面用向量表示，就可以使得几何证明通过代数运算得到解决，这是使用空间向量研究立体儿何问题的基本思想.【