2014年高考数学复习第一轮专题(理) 空间向量及其运算

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1、第二单元空间向量及其应用第一节空间向量及其运算一、选择题1．在以下四个式子中正确的有(　　)a＋b·c，a·(b·c)，a(b·c)，

2、a·b

3、＝

4、a

5、

6、b

7、A．1个　　　B．2个　　　C．3个　　　D．0个解析：根据数量积的定义，b·c是一个实数，a＋b·c无意义．实数与向量无数量积，故a·(b·c)错，

8、a·b

9、＝

10、a

11、

12、b

13、

14、cos〈a，b〉

15、，只有a(b·c)正确．答案：A2．已知a＝(1－t,1－t，t),b＝(2，t，t)，则

16、b－a

17、的最小值是(　　)A.B.C.D.答案：C3．已知向

18、量a＝(1,2,3),b＝(－2，－4，－6)，

19、c

20、＝，若(a＋b)·c＝7，则a与c的夹角为(　　)A．30°B．60°C．120°D．150°答案：C4．平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，M为AC和BD的交点，若＝a，＝b，＝c，则下列式子中与相等的是(　　)A．－a＋b＋cB.a＋b＋cC.a－b＋cD．－a－b＋c解析：＝＋＝＋(＋)＝－＋＝c－a＋b，故选A.答案：A5.已知a＝(2，－1,3)，b＝(－1,4，－2)，c＝(7,5，λ)，若a，b，c三向量共面，则λ＝(　　)14

21、A.B．9C.D.答案：D二、填空题6．已知a＋3b与7a－5b垂直，且a－4b与7a－2b垂直，则〈a，b〉＝________.解析：由条件知(a＋3b)·(7a－5b)＝7

22、a

23、2－15

24、b

25、2＋16a·b＝0，及(a－4b)·(7a－2b)＝7

26、a

27、2＋8

28、b

29、2－30a·b＝0.两式相减得46a·b＝23

30、b

31、2，∴a·b＝

32、b

33、2.代入上面两个式子中的任意一个，即可得到

34、a

35、＝

36、b

37、.∴cos〈a，b〉＝＝＝.∴〈a，b〉＝60°.答案：60°7．已知a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2

38、)，且ka＋b与2a－b垂直，则k的值为________．解析：(ka＋b)·(2a－b)＝(k－1，k,2)(3,2，－2)＝5k－7＝0，∴k＝.答案：8．下列命题中不正确的命题是________．①若A、B、C、D是空间任意四点，则有＋＋＋＝0；②

39、a

40、－

41、b

42、＝

43、a＋b

44、是a、b共线的充要条件；③若a、b共线，则a与b所在直线平行；④对空间任意点O与不共线的三点A、B、C，若＝x＋y＋z(其中x、y、z∈R)，则P、A、B、C四点共面．解析：易知只有①是正确的，对于④，若O∉平面ABC，则、

45、、不共面，由空间向量基本定理知，P可为空间任一点，所以P、A、B、C四点不一定共面．答案：②③④三、解答题9．试用向量证明三垂线定理及其逆定理．14已知：如右图所示，PO、PA分别是平面α的垂线和斜线，OA是PA在α内的射影，a⊂α，求证：a⊥PA⇔a⊥OA.证明：设直线a上非零向量a，要证a⊥PA⇔a⊥OA，即证a·＝0⇔a·＝0.∵a⊂α，a·＝0，∴a·＝a·(＋)＝a·＋a·＝a·.∴a·＝0⇔a·＝0，即a⊥PA⇔a⊥OA.10．已知ABCD－A′B′C′D′是平行六面体．(1)化简＋＋，

46、并在图形中标出其结果；(2)设M是底面ABCD的中心，N是侧面BCC′B′的对角线BC′上的点，且BN∶NC′＝3∶1，设＝α＋β＋γ，试求α，β，γ之值．解析：(1)先在图形中标出，为此，可取的中点E，则＝.∵＝，在D′C′上取点F，使D′F＝D′C′.∴＝＝.又＝，从而有＋＋＝＋＋＝，如右图所示．(2)＝＋＝＋14＝＋＝＋＝＋＋，∴α＝，β＝，γ＝.第二节空间角的概念及其求法和空间距离的求法一、选择题1．(2008年福建)在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，则BC1

47、与平面BB1D1D所成角的正弦值为(　　)A.　　　B.　　　C.　　　D.解析：连A1C1与B1D1交与O点，再连BO，则∠OBC1为BC1与平面BB1D1D所成角.sin∠OBC1＝，OC1＝，BC1＝∴sin∠OBC1＝＝.答案：D2．(2008年四川延考)一个正方体的展开图如右图所示，B，C，D为原正方体的顶点，A为原正方体一条棱的中点．在原来的正方体中，CD与AB所成角的余弦值为(　　)A.　　　B.C.　　　D.解析：还原正方体如下图所示，设AD＝1，则AB＝，AF＝1，BE＝EF＝2，

48、AE＝3，CD与AB所成角等于BE与AB所成角，14所以余弦值为cos∠ABE＝＝，选D.答案：D3．设E，F是正方体AC1的棱AB和D1C1的中点，在正方体的12条面对角线中，与截面A1ECF成60°角的对角线的数目是(　　)A．0B．2C．4D．6解析：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴建立空间直角坐标系，并设正方体的棱长为1，则A1(1,0,0)，E，C(0,1,0)．设平面A1ECF的法向量为n＝(x，y，z)，则由·n＝0及·n＝0，可得x＝z