空间向量及其运算(理

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1、山东金榜苑文化传媒集团步步高大一轮复习讲义空间向量及其运算空间向量与立体几何空间向量及其运算立体几何中的向量方法空间向量的加减运算空间向量的数乘运算空间向量的数量积运算空间向量的坐标运算共线向量定理共面向量定理空间向量基本定理平行与垂直条件向量夹角及距离直线的方向向量与平面的法向量求空间角求空间距离线线角线面角面面角忆一忆知识要点1.空间向量的有关概念(1)空间向量：在空间中，具有_____和_____的量叫做空间向量．(2)相等向量：方向_____且模_____的向量．(3)共线向量：表示空间向量的有向线段所在的直线互相___________的向量．(4)共面向量

2、：__________________的向量．大小方向相同相等平行或重合平行于同一个平面2.共线向量、共面向量定理和空间向量基本定理(1)共线向量定理对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使得a＝λb.忆一忆知识要点忆一忆知识要点互相垂直忆一忆知识要点(2)空间向量数量积的运算律①结合律：(λa)·b＝λ(a·b)；②交换律：a·b＝b·a；③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.忆一忆知识要点忆一忆知识要点忆一忆知识要点③2②③④题号答案12345空间向量的线性运算用已知向量来表示未知向量,一定要结合图形,以图形为指导是解题的关键.要

3、正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义.首尾相接的若干向量之和,等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量,我们可把这个法则称为向量加法的多边形法则.在立体几何中要灵活应用三角形法则,向量加法的平行四边形法则在空间仍然成立.共线、共面向量定理的应用共线、共面向量定理的应用共线、共面向量定理的应用共线、共面向量定理的应用共线、共面向量定理的应用在求一个向量由其他向量来表示的时候，通常是利用向量的三角形法则、平行四边形法则和共线向量的特点，把要求的向量逐步分解，向已知向量靠近,进行求解，若要证明两直线平行,只需判定两直线所在的向量满足线性a＝λb关系,即可判定两直

4、线平行.空间向量性质的应用证明两条直线垂直，一般是用两条直线的方向向量的数量积等于0来加以证明的．已知a＝(x,4,1),b＝(－2,y,－1),c＝(3,－2,z),a∥b，b⊥c.求:(1)a，b，c；(2)(a＋c)与(b＋c)夹角的余弦值．于是c＝(3,－2,2)．已知a＝(x,4,1),b＝(－2,y,－1),c＝(3,－2,z),a∥b，b⊥c.求:(1)a，b，c；(2)(a＋c)与(b＋c)夹角的余弦值．09“两向量平行”和“两向量同向”不清致误(5分)已知向量a＝(1,2,3),b＝(x,x2＋y－2,y),并且a,b同向,则x,y的值分别为___

5、_______．(1)a与b同向是a∥b的充分而不必要条件.a∥b是a与b同向的必要而不充分条件．(2)错因分析:两向量平行和两向量同向不是等价的,同向是平行的一种情况.两向量同向能推出两向量平行,但反过来不成立,也就是说,“两向量同向”是“两向量平行”的充分不必要条件.错解就忽略了这一点.答案1，31．熟练掌握空间向量的运算、性质及基本定理是解决空间向量问题的基础，特别是共线向量定理、共面向量定理、空间向量基本定理、数量积的性质等．2．利用向量解立体几何题的一般方法：把线段或角度转化为向量表示，用已知向量表示未知向量，然后通过向量的运算或证明去解决问题，在这里，恰

6、当地选取基底可使向量运算简捷，或者是建立空间直角坐标系，使立体几何问题成为代数问题，在这里，熟练准确地写出空间中任一点的坐标是解决问题的基础．1.利用坐标运算解决立体几何问题,降低了推理难度,可以避开一些较复杂的线面关系,但较复杂的代数运算也容易导致出错.因此,在解决问题时,可以灵活的选用解题方法,不要生搬硬套.2.用空间向量解决立体几何中的平行或共线问题一般用向量共线定理；求两点间距离或某一线段的长度，一般用向量的模来解决；解决垂直问题一般可转化为向量的数量积为零；求异面直线所成的角，一般可以转化为两向量的夹角，但要注意两种角的范围不同，最后应进行转化．3.空间向

7、量的加法、减法经常逆用,来进行向量的分解.4.几何体中向量问题的解决，选好基底是关键.一、选择题二、填空题题号123答案AAAA组专项基础训练题组三、解答题8.已知△ABC的顶点A(1,1,1),B(2,2,2),C(3,2,4).试求(1)△ABC的重心坐标；(2)△ABC的面积；(3)△ABC的AB边上的高．三、解答题一、选择题二、填空题题号123答案DAAB组　专项能力提升题组5.①②三、解答题7.如图,已知M,N分别为四面体ABCD的面BCD与面ACD的重心,且G为AM上一点,且GM:GA＝1:3.求证：B,G,N三点共线.8.直三棱柱ABC—A′B′C