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《2018年高考数学一轮复习专题43空间向量及其运算教学案理》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、专题43空间向量及其运算1.了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示；2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示；3.掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能用向量的数量积判断向量的共线和垂直.重点知识梳理1.空间向量的有关概念名称概念表示零向量模为0的向量0单位向量长度(模)为1的向量相等向量方向相同且模相等的向量a=b相反向量方向相反且模相等的向量a的相反向量为一$共线向量表示空问向量的有向线段所在的直线互相平行或重合a//b共面向量平行于同一个平面的向量2.共线向暈、共面向暈
2、定理和空间向量慕木定理(1)共线向量定理：对空间任意两个向量弘a//b的充要条件是存在实数人，使得a=入b.(2)共面向量定理：若两个向量爲，b不共线，则向量°与向量"共面O存在唯一的有序实数对(x,尸)，使p=xa+yb.(3)空间向量基本定理：如果三个向量⑦b,c不共面，那么对空间任一向量p,存在有序实数组｛/,y,z｝,使得p=xa+yb+zc,把｛占，b,c｝叫做空间的一个基底.3.空间向量的数量积及运算律(1)数量积及相关概念①两向量的夹角已知两个非零向量日，b,在空I'可任取一点0,作OA=a,03=b,则
3、ZA0B叫做向量日与方的夹角，记作2,6〉，其范围是0W3,方〉Wn，若3,方〉=y,则称爲与方互相垂直，记作力丄6.②两向量的数量积已知空间两个非零向量b,贝ij
4、a
5、
6、Acosb)叫做向量日，〃的数量积，记作a・b,即a•b=
7、a
8、
9、^1cos(a,b).（2）空间向量数量积的运算律①结合律：（心）•b=入（a・6）；②交换律：a•b=b•a；③分配律：a・（b+c）—a•b+a•c.3.空间向量的坐标表示及其应用设日=（白1,创，自：J,b~（Z?i,b“bi）.高频考点突破向量表示坐标表示数量积8L■bab
10、+aib>+a^bs共线a=人方(6H0)日1=人力i,血=入日3=人厶垂直a•b=0(aHO,〃H0)ab+a>b>+aibs=^模11a寸£+£+£夹角〈£,b)(gHO,方HO)cos〈日,b）=日1方：+日2厶+日3厶p占+£+£•寸怎+£+£高频考点一空间向量的线性运算例1、（1）己知在空间四边形勿虑中，~OA=a.~OB=b,OC=c,点〃在创上，且0M=2MA,N为BC中点,则协等于（)12,,1A-尹一孑+尹c・聶+切-条2.lf.1B・3a+2A+2C221。・严3&2C（2）如图所示,在长方体A
11、BCD—AB3中，0为化的中点.②用乔，劝，藕表示无，则鬲=.答案（1）B⑵①苑（^AB+^AD+AA-解析（1）显然丽=亦-渤=^（OB+~OC）—=AiO-^Ah+Ab)=AiO+^=AiA.••昴=荒+呢=*盘+曲）+茲【感悟提升】用已知向量表示某一向量的方法用己知向量來表示未知向量，一定耍结合图形，以图形为指导是解题的关键.耍正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义.首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量.在立体几何中三角形法则、平行四边形法则仍然成立.【变式探究】三棱锥O-A
12、BC^,J/,N分别是如臆的屮点，G是的重心，用基向量茹,OB,0C^i7^MGy0G.解MG=M+AG=~OA+^=訥+
13、（芜茹）=訥+胡（屈+旋）一沏=—&励+1厉+Z冼633—►—►—►1―►1―►1—►1―►0G=0M+MG=-OA~-OA+-OB+-OC=^OA+^OB-V^OC.高频考点二共线定理、共面定理的应用例2、已知仗F、G、〃分别是空间四边形必勿的边初、BC、CD、刃的中点,（1）求证：E、F、G、〃四点共面;（2）求证：BD〃平画EFGH；⑶设财是励和劝的交点，求证：对空间任一点0,有aif=^
14、OA+dB+oc+db）・证明（1）如图，连接％,则菇莎庞=EB+^（BC+~Bb）=厉+~BF+~EH=Z?'+瓯由共面向量定理的推论知:E、F、G、〃四点共面.⑵因为~eh=~ah-Te所以EH//BD.又刃/u平面恥//,BIA平画EFG11,所以肋〃平面EFGH.⑶找一点0,并连接如，OA,OB,OC,OD,OE,0G,如图所示.由⑵知菇*励，同理死场，所以菇死，即EH統FG,所以四边形济劭是平行四边形.所以％77/交于一点〃且被〃平分.2/11/(frL2)f=*励+湖匾+励.【感悟提升】(1)证明点共线的
15、方法证明点共线的问题可转化为证明向量共线的问题，如证明力，B,。三点共线，即证明乔，旋共线，亦即证明AB=AAC(A^O).(2)证明点共面的方法证明点共面问题可转化为证明向量共面问题，如要证明只A,B,C四点共面，只要能证明荊=為+夙或对空间任一点0,有0A=0P+xPB+^PC^OP=xOA+yOB+zOC^x+y+z=1）即
