高三数学大一轮复习空间向量及其运算学案理新人教a

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1、学案45　空间向量及其运算导学目标：1.了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示.3.掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直．自主梳理1．空间向量的有关概念(1)空间向量：在空间中，具有______和______的量叫做空间向量．(2)相等向量：方向______且模______的向量．(3)共线向量定理对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是______________________

2、________．推论　如图所示，点P在l上的充要条件是：＝＋ta①其中a叫直线l的方向向量，t∈R，在l上取＝a，则①可化为＝___________________或＝(1－t)＋t.(4)共面向量定理如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在惟一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb，推论的表达式为＝x＋y或对空间任意一点O有，＝__________________或＝x＋y＋z，其中x＋y＋z＝____.2．空间向量基本定理如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序

3、实数组{x，y，z}，使得p＝____________________________，把{a，b，c}叫做空间的一个基底．3．空间向量的数量积及运算律(1)数量积及相关概念①两向量的夹角已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则________叫做向量a与b的夹角，记作________，其范围是________________，若〈a，b〉＝，则称a与b______________，记作a⊥b.②两向量的数量积已知两个非零向量a，b，则______________________叫做向量a，b的数量

4、积，记作________，即______________________________．(2)空间向量数量积的运算律①结合律：(λa)·b＝____________________；②交换律：a·b＝________；③分配律：a·(b＋c)＝________________.164．空间向量的坐标表示及应用(1)数量积的坐标运算若a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则a·b＝____________________.(2)共线与垂直的坐标表示设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则

5、a∥b(b≠0)⇔____________⇔________，__________，________________，a⊥b⇔________⇔_________________________________(a，b均为非零向量)．(3)模、夹角和距离公式设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则

6、a

7、＝＝_____________________________________________________________，cos〈a，b〉＝＝___________________________

8、______________________________.若A(a1，b1，c1)，B(a2，b2，c2)，则

9、

10、＝__________________________________________________________________.自我检测1．若a＝(2x,1,3)，b＝(1，－2y,9)，且a∥b，则(　　)A．x＝1，y＝1B．x＝，y＝－C．x＝，y＝－D．x＝－，y＝2．(2011·青岛月考)如图所示，在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，M为AC与BD的交点，若＝a，＝b，＝c，则

11、下列向量中与相等的向量是(　　)A．－a＋b＋cB.a＋b＋cC.a－b＋cD．－a－b＋c3．(2011·广州调研)在平行六面体ABCD—A′B′C′D′中，已知∠BAD＝∠A′AB＝∠A′AD＝60°，AB＝3，AD＝4，AA′＝5，则

12、

13、＝________.4．有下列4个命题：①若p＝xa＋yb，则p与a、b共面；②若p与a、b共面，则p＝xa＋yb；③若＝x＋y，则P、M、A、B共面；④若P、M、A、B共面，则＝x＋y.其中真命题的个数是(　　)A．1B．2C．3D．45．A(1,0,1)，B(4,4,6)，

14、C(2,2,3)，D(10,14,17)这四个点________(填共面或不共面)．16探究点一　空间基向量的应用例1　已知空间四边形OABC中，M为BC的中点，N为AC的中点，P为OA的中点，Q为OB的中点，若AB＝OC，求证：PM⊥QN.变式迁移1　如图，在正四面体ABCD中，E、F分别为棱AD、BC的中点，则异面直线AF和CE所成角的余弦