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《2016高考数学大一轮复习 8.5空间向量及其运算学案 理 苏教版》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、学案43 空间向量及其运算导学目标:1.了解空间向量的概念,了解空间向量的基本定理及其意义,掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示.3.掌握空间向量的数量积及其坐标表示,能运用向量的共线与垂直证明直线、平面的平行和垂直关系.自主梳理1.空间向量的有关概念及定理(1)空间向量:在空间中,具有________和________的量叫做空间向量.(2)相等向量:方向________且模________的向量.(3)共线向量定理对空间任意两个向量a,b(a≠0),b与a共线的充要条件是
2、________________________.(4)共面向量定理如果两个向量a,b不共线,那么向量p与向量a,b共面的充要条件是存在有序实数对(x,y),使得p=xa+yb,推论的表达式为=x+y或对空间任意一点O有,=________________或=x+y+z,其中x+y+z=____.(5)空间向量基本定理如果三个向量e1,e2,e3不共面,那么对空间任一向量p,存在惟一的有序实数组(x,y,z),使得p=________________________,把{e1,e2,e3}叫做空间的一个基底.2.
3、空间向量的坐标表示及应用(1)数量积的坐标运算若a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),则a·b=__________________________________________________________________.(2)共线与垂直的坐标表示设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),若b≠0,则a∥b⇔________⇔__________,________,______________,a⊥b⇔__________⇔________________________(a,b
4、均为非零向量).(3)模、夹角和距离公式设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),则
5、a
6、==________________________________,cos〈a,b〉==______________________________________________________.若A(a1,b1,c1),B(a2,b2,c2),则
7、
8、=______________________________.3.利用空间向量证明空间中的位置关系若直线l,l1,l2的方向向量分别为v,v1,v2,平面α,
9、β的法向量分别为n1,n2,利用向量证明空间中平行关系与垂直关系的基本方法列表如下:平行垂直直线与直线l1∥l2⇔v1∥v2⇔v1=λv2(λ为非零实数)l1⊥l2⇔v1⊥v2⇔v1·v2=0直线①l∥α⇔v⊥n1⇔v·n1=0l⊥α⇔v∥n1⇔v=与平面②l∥α⇔v=xv1+yv2其中v1,v2为平面α内不共线向量,x,y均为实数λn1(λ为非零实数)平面与平面α∥β⇔n1∥n2⇔n1=λn2(λ为非零实数)α⊥β⇔n1⊥n2⇔n1·n2=0自我检测1.若a=(2x,1,3),b=(1,-2y,9),且a∥b,
10、则x=______________________,y=________.2.如图所示,在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中,M为AC与BD的交点,若=a,=b,=c,则用a,b,c表示为________.3.在平行六面体ABCD—A′B′C′D′中,已知∠BAD=∠A′AB=∠A′AD=60°,AB=3,AD=4,AA′=5,则
11、
12、=________.4.下列4个命题:①若p=xa+yb,则p与a、b共面;②若p与a、b共面,则p=xa+yb;③若=x+y,则P、M、A、B共面;④若P、M、A、B共面,则=
13、x+y.其中真命题是________(填序号).5.A(1,0,1),B(4,4,6),C(2,2,3),D(10,14,17)这四个点________(填共面或不共面).探究点一 空间基向量的应用例1 已知空间四边形OABC中,M为BC的中点,N为AC的中点,P为OA的中点,Q为OB的中点,若AB=OC,求证:PM⊥QN.变式迁移1 如图,在正四面体ABCD中,E、F分别为棱AD、BC的中点,则异面直线AF和CE所成角的余弦值为________.探究点二 利用向量法判断平行或垂直例2 两个边长为1的正方形ABC
14、D与正方形ABEF相交于AB,∠EBC=90°,点M、N分别在BD、AE上,且AN=DM.(1)求证:MN∥平面EBC;(2)求MN长度的最小值.变式迁移2 如图所示,已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直,AB=,AF=1,M是线段EF的中点.求证:(1)AM∥平面BDE;(2)AM⊥面BDF.探究点三 利用向量法解探索性问题例3 如图,平面PAC⊥平面AB