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《经济数学2.1.3换元积分法》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、课题2.1.3换元积分法（2学时）时间年月日教学目的要求1、掌握第一换元积分法。2、掌握第二换元积分法。重点换元积分法难点换元积分法教学方法手段讲授为主王要内容时间分酉己一、凑微分法45分钟二、去根号法45分钟作业备注§2.1.3换元积分法直接积分法只能求某些简单函数的不定积分，为解决更多的、较复杂的不定积分问题，还需要进一步的寻找求不定积分的其他方法。我们将分别学习不定积分的两种重要方法：换元积分法和分部积分法。本节课我们首先来学习换元积分法。一、第一类换元积分法(凑微分法)例如，Jcos2x6&与类似，比较被积函数，我们可以把jcos2xdx改写成*Jcos2xd(2x
2、)的形式，令2x=u,就有
3、cos2xdx=—jcos2xJ(2x)二丄Jcosudu=—sinw+C再把况回代成2x,得[cos2xdx二一sin2x+CJ2定理1(第一类换元积分法)若Jf(u)du=F(w)+C,且u=(p(x)有连续导数，则j=F[°(x)]+C这种方法称为第一类换元积分法，也叫做凑微分法，具体步骤可以表示为：J/b(x)b'(x)d奏微分J/b(x)]d[0(x)]"(X)-“Jy(u)duF(u)+C回代八如)Fb(x)]+C【例1】求J2xexdxo解2xex2clx=ex2dx2回代u=x2、ex+C【例2】求J(x-2^dxo丿nJ(兀
4、一2)6必=J(兀一2)6d(x—2)=ju6du回代“=兀_2(乂_2)7_=+C7补充：常用凑微分公式解$吕心岂7卄31心+3)^^积分类型换元公式第换元积分法1Jf(ax4-b)dx=—J/(av+b)d{ax+b)(a工0)2Jfix^x^dx=f(xp)d(xf,)(“HO)3.J/(In兀)丄tZr=Jf(Inx)d(lnx)4..jf(ex)-exdx=jf(ex)dex5J/(/)•%二占Jf(ax)dax6.Jf(sinx)•cosxdx=J/(sinx)dsinx7J/(cosx)-sinxdx=-
5、/(cosx)dcosx8.Jf(tanx)sec2x
6、dx=
7、/(tanx)dtanx9J/(cotx)esc2xdx=-J/(cotx)dcotx10.J/(arctanx)--dx=J/(arctan^)J(arctanx)11.(/(arcsinx)f-dx=-f/(arcsinx)J(arcsinx)」Jl-F」u=cix+bu=x"u=Inxu=exu=axu=sinxu=cosXu=tanxu=cotXu=arctanxu=arcsinx—f-du=一Inu+C7Jw7回代w=7x+3i.-yin
8、7兀+3
9、+C【例4】求Jcos解r1r令弘=5尢1「1_cos5xdx=—cos5xd5x―cosudu=—sinw
10、+CJ5J5J5冋代u=5x1_=-sin5x+C5【例5】求Jtanxdx。■解[tanxdx=Sm^Ydx，由于dcosx=—sinAzZr,所cosx以r.rsinx.rdcosxt,tanxax=dx=-J=-Ineos%+CJcosxcosx即jtanxdx=一ln
11、cosx
12、+C【例6】求[—1—如Jx(lnx+1)解因为d(x)=—dxy所以—1—d尸f理凹二[如也=ln
13、l+In无
14、+Cx(lnx+l)Jlnx+1Jlnx+l【例7】求[―dx{a>0)o呻)1兀「一=—arctan—+C1+&aaaJ+JTF*—dx=[!dx=-[0+兀J7兀2处a
15、i凡1+筈)CT【例8】求f919o-xdx(d+x){a一x)二丄严+n)d“丄"丄+丄皿2(7J(tz+x){a-x)2aJa-xa+x【例9】求1^la2-x2dx{a>0)。dx【例10】求jcscx^ko解fcscxN二f—L加二fdx={」sinx」c•%尢」rx9x2sin-cos-2tan—cos~—2222YxIntan—+C2sec2—t/(tan—)=f——^-6/(-)=J-Jtan^2訣22类似地可得jsecxdx=Insecx4-tanx4-C二、第二类换元积分法(去根号法)第一类换元积分法是通过变量代换u=(p(x),将积分J皿化为Jf(u)d
16、uo第二类换元法则相反，是通过变量代换x=(p(f)将积分jf(x)clx化为打［＜pa)］0(f)d/,而这个积分是容易计算的。【例11］求解令/二低得兀=尸，且dx=2tdt,代入有J乙心J占2心2",1+Z=2/(1士妙=2(/—ln
17、l+/
18、)+C=2(>/x-In1+Vx
19、)+C【例12】求J*解被积函数中含有貞和依两个根式，作变换x=t可同时将两个根号去掉，dx=6t5dt,^—2尸—3f2+6/—6Inf+l
20、+C补充：由例题我们总结如下：当被积函数中含有根式Mq+Z?时,则令Zax+b来去掉根式
