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《经济数学44换元积分法》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、ESC§4.4换元积分法§4.4换元积分法不定积分的第一换元积分法（凑微分法）不定积分的第二换元积分法及定积分的换元积分法ESC这是因为例如,所以,的原函数.不是换元积分法要解决上述问题,可进行适当的变量替换在利用基本积分公式对被积函数求不定积分时,要求积分变量与被积函数中的元(即)必须严格对应.只有这样才能直接积分.否则,就不能利用直接积分法.一、第一换元积分法ESC这是因为例如,的原函数.不是换元积分法所以,令则被积函数被积表达式所以,将代回换元积分法一、第一换元积分法ESC换元积分法令则由于即是的原函数.所求不定积分是正确的.上述方法
2、具有普遍性是否正确呢?一、第一换元积分法ESC分析案例1求不定积分微分法积分法逆运算从求导数入手对于复合函数令则对的导数为将上式右端求不定积分:=======变量替换令=======变量还原=========用积分公式复合函数导数以上积分过程逆运算一、第一换元积分法ESC=======变量替换=========用积分公式========变量还原第一换元积分法设若是可微函数,则有一、第一换元积分法ESC对照案例一换元积分法公式这是的函数案例的计算过程这是的函数这是的导数这是的导数一、第一换元积分法例1求解ESC被积函数是两个因子:和的乘积注意
3、到视则因子是的函数,恰是的导数.而因子由此正是形式.设则于是可用换元积分法一、第一换元积分法例2求解ESC被积函数是两个因子:和的乘积视于是被积函数具有形式则于是可用换元积分法因设一、第一换元积分法例2求解ESC被积函数是两个因子:和的乘积视于是被积函数具有形式可用换元积分法因本例可不设出中间变量,按如下格式书写:一、第一换元积分法例3求解ESC因且若视则可用换元积分法一、第一换元积分法例4求解ESC若视则可用换元积分法注意到是线性函数,是线性函数的函数且的导数是常数,即一、第一换元积分法例5解ESC于是用降幂公式求并注意到由不定积分的运算
4、性质由换元积分法一、第一换元积分法例6解ESC．求 ．一、第一换元积分法ESC．解求 ．例7一、第一换元积分法ESC用类似的方法还可以求得．一、第一换元积分法ESC例8求 ．解由于 ，所以．一、第一换元积分法ESC例9求解．一、第一换元积分法ESC例10求 ．解因为，而．所以．一、第一换元积分法ESC类似地，可以得到．一、第一换元积分法ESC例11求解一、第一换元积分法ESC解例12求一、第一换元积分法ESC例13解法一解法二一、第一换元积分法ESC例14求 ．解因为
5、 ，所以一、第一换元积分法ESC．类似可得．一、第一换元积分法ESC例15求 ．解(利用例14的结果)一、第一换元积分法ESC类似地，有．一、第一换元积分法ESC一、第一换元积分法案例2计算定积分注意到本案例是求定积分.在用牛顿——莱布尼茨公式之前,需先求出被积函数的一个原函数.有于是由牛顿—莱布尼茨公式ESC一、第一换元积分法案例2计算定积分本案例一般按下面的方式书写由牛顿—莱布尼茨公式ESC一、第一换元积分法例16计算定积分由于解故由牛顿—莱布尼茨公式ESC练习：求下列不定积分1.2.3.4.5.6.一、第一换元积分法ESC
6、二、第二换元积分法第二换元积分法如果不定积分 不易直接应用基本积分表计算，也可以引入新变量 ，并选择代换 ，其中 可导，且 连续，将不定积分 化为ESC二、第二换元积分法如果容易求得 ，而 的反函数 存在且可导，则，，再将 代入上面的 ，回到原积分变量，有，(4.3.2)ESC二、第二换元积分法这类求不定积分的方法，称为第二类换元法．例17求解设 ，则 ， ．ESC二、第二换元积分法．应注意，在最后的结果中必须代入，返回到原积分变量 ．ESC二、第二换元积分法
7、计算定积分案例3本案例是求定积分.在用牛顿—莱布尼茨公式之前,需先求出被积函数的一个原函数.令得则为去掉被积函数中的根式为化当时,当时,于是=======变量换元=======恒等变形=======用公式例18解ESC二、第二换元积分法计算定积分令得则当时,当时,于是出新元,换新限;新元不出现,上下限不变.例19解ESC二、第二换元积分法计算定积分当时,在§4.1例2中,我们已由定积分的几何意义得到该定积分的结果令得当时,由偶函数在对称区间上定积分的结论这里用换元积分法计算该定积分.解ESC二、第二换元积分法令当时,因例20计算定积分得当时
8、,例19、例20的被积函数中均含有根式,都是通过变量换元使被积函数有理化,从而求得积分结果.按被积函数所含根式的形式可归纳为如下一般情况,ESC二、第二换元积分法被积函数含有根式
