高等数学(上册)教案18 换元积分法(1)

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1、第4章不定积分第一类换元积分法【教学目的】：1.理解第一类换元积分法；2.会用第一类换元积分法计算不定积分。【教学重点】：1.用第一类换元积分法计算不定积分。【教学难点】：1.凑微分技巧。【教学时数】：2学时【教学过程】：4.2.1第一类换元积分法我们先看这样一个例子，求不定积分，因为被积函数是的复合函数，基本积分公式中没有这种公式，但我们可以把原积分变形，化成某个基本积分公式的形式：(令)(将代回)因为，所以确为的原函数，说明上述解法正确．于是有下述定理：定理1（第一类换元积分法）设函数在所讨论的区间上可微，又设，则有．第一类换元积

2、分法的解题步骤：设要求如果被积函数可化为的形式，则==。注第一换元积分法的关键是如何选取，并将凑成微分的形式，因此，第一换元积分法又称为“凑微分”法．（1）利用，均为常数，且凑微分．例1求．解令，则即所以再将代入上式，得．熟练之后，可以省略设这一步，直接进行凑微分．（2）利用（），等微分公式凑微分．例5求．解．（3）利用三角函数恒等式来凑微分．例7求．解．当被积函数是三角函数，而且次数为奇次时，通常把被积函数分为一个偶次和一个奇次相乘的形式，然后再利用凑微分进行积分．例8求．解．当被积函数是三角函数，而且次数为偶次时，通常利用降幂公式

3、（，）对被积函数进行降幂，然后再利用凑微分进行积分．例10求．解方法一．方法二．方法三．在例10中，三种解法的原函数仅差一个常数，都包含到任意常数中，由此可见，在不定积分中，任意常数是不可缺少的．【教学小节】：本节为不定积分计算的基础。通过本节的学习，掌握使用第一类换元积分法计算不定积分，并借此进一步熟悉基本积分公式。【课后作业】：无