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1、第三套题答案X已知（1,2,1,0）Ja2=（-l,l丄1）7',^=（2-1,0,1/,02=（1,73,7）7求span{a}，匕、与spcm{0、,禹}的和与交的基和维数。解：因为span{ava2}^pan[/3}.j32}=span{a},a2,j3r/32}由于秩匕。2，卩邛,0、且%。2、卩是向量组0,°2，0
2、，02的一个极大线性无关组,所以和空间的维数是3,基为%叫0。设兵spanax,6Z2}Aspan{^),}于是由交空间定义可知，如+k2a2=1、0+也此即=0解之得k、=一1、,k2=4/2,I、于是^=^,+
3、^2=/2[-5,2,3,4f,(很显然纟二皿+厶肉)所以交空间的维数为1,基为[-5,2,3,47a10二、证明：Jordan块J(a)=0a100aa£0相似于矩阵0a£,这里£工0为任意实数。00a证明：由于容易求出两个2-矩阵的不变因子均为1丄,a1aL()0£相似.a从而这两个久-矩阵等价，于是矩阵J(a)=0a00f-ion三、求矩阵A二120的♦03丿⑴Jordan标准型；(2)变换矩阵P;(3)计算屮00解(1)Jordan标准型为(2)相似变换矩阵为p=-1<200、-111°丿-199(3)由于P-'AP=J,因此A"=PJ
4、”P-',容易计算0100、A1002O1-2,(X)I-4002100-1O1+21000201丿勺-1i、四、验证矩阵心100是正规阵，并求酉矩阵〃，使旷2为对角矩阵。jooj‘200、解：vAAH=AHA=01-i,・・・A是正规矩阵，2'1>A1-iAE-A=-120=2(/+2)，令plE-A
5、=0得特征根:-i0A当人=0时，解得特征向量为:=(0,/,I)7,当^=72/时，解得特征向量为:a2=(V2,l)r,Si当入一Q时，解得特征向量为心血厂丫显然正交，将它们分别单位化得：V1=（0，Z/2，//2），吹（燧'—%'%）
6、，r0<<<000、u=M-%%得U^AU=0y/2i0W%-x)k00-凤五、已知A是Hermit矩阵，且&=0以为自然数），试证：A=0。证明：因为A是Hermit矩阵，所以存在酉矩阵〃使得uauh,（其中人为A的特征根，且为实数）筑0•••0>'才0…0、a=uh0•••0••••••••••••U；从而宀t/H0可…0••••••••••••<00…人丿<00...才丿30U=0；&丿所以人=易=・・・=人=0故4=0六、验证矩阵A=0丄21.71_~2为单纯矩阵，并求A的谱分解。解：因为A-AE-2£2£7=-V+32+2=-(2+1
7、)气2—2)所以得特征要分别为：无二T，入"当宀-1时，求得线性无关的特征向量分别为^=(-2,1,0/,a2=(-4,0,1/,当2=2时，求得线性无关的特征向量分别为购=(4,2,1)所以1A=(-1/122>T<111633612121122111263366111221<1263)<333"X几于是人的投影矩阵为12，6t)T,恥点挣4323012432302_3丄112830丄亍23232_亍23><124、333G2=a4；=1?1亍27,故4谱分解表达式为A=-G^2G2o111<1263丿七、讨论下列矩阵幕级数的敛散。‘17、<0
8、-3,8；（2）£k=l'0.20.5、0.10.5oo0-10解:（1）1?=1,/?（A）=3,・.・Rvp（A）,・••发散;（2）
9、
10、a
11、L=0.7,v
12、
13、a
14、L又对任意的兀丘V有兀2■■■=（01，02,…,A）y2■■■；a=/旺'兀2■■■,卩=y2•■■证明：（1）
15、h=h是v中的向量范数;（2）当P是正交矩阵时,有阀2=御2证⑴：INI=M2是v到尺的映射;a（非负性）：若¥工0,则而阀2是向量范数，因此卜11=1阀L>°；当且仅当兀=0时a=0,而a=0当且仅当制L=°・（2分）；〃侪次性）:问
16、=側创2=1川阀2二鬧制坨分）；c（三角不等式）：Vx.jeV,设Te心，…心）Z//兀2•■•=(01，02,…，0”)//5、■•■；a=//(xjZ兀2••■,0'=//■■•///g丿1几丿K丿（儿丿则卜+MH"+別2引创2+1团2=闵
17、+
18、"
19、・（2分）；故
20、
21、x
22、
23、=
24、
25、4是V中的向量范数.证
26、(2):imiiw―心)气押)=j0T(P'P)E=J卩'P=
27、
28、0
29、
30、2-九、已知矩阵102-102,答・她一4(2-1)(2-2)[
