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《第55讲+二面角的求法-高中数学常见题型解法归纳反馈训练+Word版含解析》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、高中数学常见题型解法归纳及反馈检测第55讲:二面角的求法【知识要点】一、二面角的定义平面内的一条直线把平面分为两部分，其中的每一部分叫做半平面•从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面.二面角的平面角：以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角，叫做这个二面角的平面角.二、二面角的范围规定：二面角的两个半平面重合时，二面角为0°,当两个半平面合成一个平面时，二面角为180°,因此，二面角的大小范围为［0°,180°J.三、二面角的求法方法一：（几何法）找T作（定义法、三垂线法、垂面法）
2、T证（定义）T指T求（解三角形）方法二：（向量法）首先求出两个平面的法向量万,二m•n再代入公式cosa=±tnn（其中嬴/分别是两个平面的法向量，G是二面角的平面角.）求解.（注意先通过观察二面角的大小选择“土”号）四、求二面角体现的是数学的转化的思想，就是把空间的角转化为平面的角，再利用解三角形的知识解答.【方法讲评】方法一几何法使用情景二面角的平面角本身就存在或方便作出来.解题步骤找T作（定义法、三垂线法、垂面法）T证（定义）T指T求（解三角形）【例1】如图，四棱锥P-ABCD屮，底面ABCD是边长为3的菱形，ZABC=60°,PA丄而ABCD,且PA=3,F在棱PA上，且AF=
3、,E在棱PD上.p(1)若CE〃面BDF,求的值；(2)求二面角B-DF-A的余眩值.【解析】〔1)过E作EG//FD交么尸于G,连接CG,连接/C交BD于0,连接F0・:EG//FD,EGU面BDF,肋匸面BDF,:.EG//面BDF,又EG“CE=E,CE〃面BDF,EG,CEu面CGE,・••面CGEH面BDF,又CGu面CGE,:.CGH面BDF,又面BDFA面CGu面PAC,:.F0//CG.又0为/C7中点,:.F^AG中点，・・・FG=GF=1,・・・E为PD中点，PE-ED=A.(2)过点B作丄直线DA交D4延长线于H,过点H作H/丄直线DF交于/,•:PA丄面AB
4、CD,:.面P4D丄面ABCD,・・.BH丄面PAD,由三垂线定理可得£>/丄/B,・・・ZBIH是二面角B-DF—A的平而角•【点评】(1)本题第2问也可以利用向量的方法解答.(2)第2小问的解答实际上是利用了几何的方法，利用三垂线定理作出二面角的平面角，再解三角形.这是几何法求二面角常用的一种方法，大家务必熟练掌握灵活运用.【反馈检测1】如图所示，四边形ABCD是菱形，0是AC与BD的交点，SA丄平ffiABCD.(I)求证：平面SAC丄平面S3D；(II)若ZDAB=120°,DS丄BS,AB=2,求二面角S-BC-A的余弦值.方法二向量法使用情景二面角的平面角不易作出来.解题步
5、骤建立空间直角坐标系T求出两个平面的法向量云方T代入公式C0S6T=±-中不J分别是两个平面的法向量，G是二面角的平面角•)求解.(注意先通j角的大小选择“土”号)1•nr■■m/过观n・(其1察二面【例2】己知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，AB//DCfZDAB=90°,P4丄底面ABCD，且PA=AD=DC=丄AB=1,M是PB的中点.2(1)证明：面PAD丄面PCD；(2)求AC与所成的角；(3)求面AMC与面BMC所成二面角的余弦值.【解析】证明：以力为坐标原点，心為4P所在直线分别为旳y,z轴〉建立如图1所示空间直角坐标系，则X0A0>3(020)CG10)DQ20)玖
6、呵・(1)DCAP=Q,即DCLAP・又由已知DC丄如，^APCAD=A?从而DCA.面F4D・又DCu面PCD,故面丄面PCD.⑵8何歼崙侖罟,即与刊?所成的角为arccos学.(3)设％(%%2_),珥=厲儿Q分别为平面如化与平面购C的法向量,且莎=(0,_1_》丽=(Q1_#)莎=(1Q_*),•:囂和;氏解得yi=屯〉z2=2^・取法向量为^=(-1^-2),叫=(U2),故8叭％)=筝=电，即所求二面角的余弦值为-【点评】由于本题的二面角的平面角不易作出，而建立空间直角坐标系和写坐标都比较方便，所以可以选用向暈的方法.【反馈检测2】如图，四边形PCBM是直角梯形ZPCB=9
7、0°,PM//BC.PM=1,BC=2,XAC=1,ZACB=(1)求证：PC丄AC；(2)求二面角M-AC-B的余弦值；(3)求点B到平面MAC的距离.高中数学常见题型解法归纳及反馈检测第55讲:二面角的求法【反馈检测1答案】（I）证明见解析;(II)【反馈检测1详细解析】〔I）证明：因为超丄^ABCD,又因为形，所以血丄ySACAC=A?所以丄面超C,又u面SS0面SBD丄面谢C・(II)法一：因为SA丄面ABCDBCu面ABCD,所以S
