第4讲定积分的概念与微积分基本定理

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1、第4讲定积分的概念与微积分基本定理［2013年高考会这样考】1.考查定积分的概念，定积分的儿何意义，微积分基本定理.2.利用定积分求曲边形面积、变力做功、变速运动的质点的运动路程.【复习指导】定积分的考查频率不是很高，本讲复习主要掌握定积分的概念和几何意义，使用微积分基本定理计算定积分，使用定积分求曲边图形的面积和解决一些简单的物理问题等.01》考基自主导学必考必记i教学相长基础梳理1.定积分(1)定积分的定义及相关概念如果函数冗兀)在区间［a,b］上连续,用分点a=xo

2、区间,在每个小区间［竝一1，兀］上任取一点刃=1,2,…，斤)，作和式y(c)Ax=f/=1.I字G),当〃一8时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数几0在区间仪，b］上的定积分，记作卩兀皿.在^f(x)dx中，。与b分别叫做积分卜•限与积分上限，区间S，创叫做积分区间,/U)叫做被积函数，丄叫做积分变量，/U)cLr叫做被积式.(2)定积分的性质©J6kf(x)(h=k^hf(x)dx(k为常数).3a②fl/i⑴切⑴］dx=^-fi(x)dx±^~f2(x)dx.a@4③^f(x)dx=+Jb/(x)dx(中a

3、c2.微积分基本定理如果伦)是区间［a,b］上的连续函数，并月.FM^f(x)dx=F(b)-F(a),这个结论叫微积分基本定理，又叫牛顿一莱布尼兹公式.1.定积分的应用(1)定积分与曲边梯形的而积沱积分的概念是从曲边梯形面积引入的，但是定积分并不一定就是曲边梯形的面积.这要结合具体图形來定:yr=/(x)0

4、a⑷设阴影部分面积为s.®S=^f(x)dx；②S=—沁皿;•a(§)S=[7⑴dx—[7⑴ck；@S=沆c)dx—Pg(x)dx=g(x)]dx・(2)匀变速运动的路程公式作变速直线运动的物体所经过的路程5,等于其速度函数v=v

5、(O(v(O^O)在时间区间［a,b］上的定积分，即s=bv(t)dr.^=助<<博一种思想廈积分基本昼想的核空走上以.直代曲二丄甩上直f艮二的.歩骤解决…:尢限二过程矽•回.题?…其龙塗是上分.割求近似.，…求祀舉扱隊二?…利用运程方法烹推导•睦的表瓯积.•和佟积公式簣•…恩桧斯賞经把对数的发.明亠解析丿I何.的.创始.丛良微枳分的建立并.栓为…1Z世纪-数学戲二左成就：…三条性质(1)常.数可提到积分号.生;…(2)祀墓的积分簣土积分的枳羞;.(3).积.分:可分段逛彳工•.…一个公式由微积分基本定理可知求定积分的关键是求导函数的原函

6、数，由此可知，求导与•积一分是亘为逆运一算:…测1・(2011-福建)p(ex+2x)dx等于().丿0A.1D.e+1解析1(ev+2x)dx答案C2.(2011-湖南)由直线x=-7Cy=0与曲线〉=cos兀所围成的封闭图形的而积为()•A.*B・1da/5解析片-彳cosxdx=2f彳ocosxdx=2sinxl^O=y[3.答案3・(2011•山东)rhilli线〉=/歹=疋围成的封闭图形面积为()•1ApB-4Cl小7D・12解析#-条4宽为2的矩形OABC内，曲线y=sinx(0W兀冬兀)与x9y=对,3得交点坐标为(0,0)

7、,(1J),因此所求图形面V=r,积为S=x2-x3)dx=•0姣幸A4口賀图，在一个长为兀,轴I韦I成如图所示的阴影部分，向矩形OABC内随机投一点（该点落在矩形OABC内任何一点是等可能的）,则所投的点落在阴影部分的概率是（)•B.271解析阴影部分的面积s=—cosx$=一（一1一］）=丿02,矩形的面积为2九阴影部分的面积矩形面积21二石&做应选A.答案A5.（人教A版教材习题改编）汽车以y=（3r+2）m/s作变速直线运动时，在第1s至第2s间的1s内经过的路程是.解析2⑶+2)dt=•1

8、r2+力=^X4+4-l

9、+2l=1

10、0-

11、12KAOXIANGTANJIUDAOXI研析考向i案例突破修案猜向探究导析考向一定积分的计算【例1】计算下列积分r2(1)2/1ro(2)sin(cosn(5)V—X工;ri(xcosjc—5sinx~~2)djc.当原函数较难求时，可考虑由其几何意义解得.【训练112•2工」丄sin可d工十Jo/7ri(;1.smJC'Jl—xdjc=J—1jr"21—COS丁i9dH0乙3=卫_丄om・rl可利用面积求得J—1因此原式=铢_2v=7—<+2rr=Vl—(兀一l)'丫上0Jy=1—(X—1)‘J妙01—(父一1)2^0OV=

12、1—(X—1)2•i由图形可知:JoV—仝+2rr=7T4⑸由)j=xcosx—5sinx为奇函数1(xcosx—5sinx+2)(k=p—12dx=2兀打=4.丿-1方法总结》(1)利用微积