第3篇 第4讲 定积分的概念与微积分基本定理

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1、第4讲　定积分的概念与微积分基本定理【2014年高考会这样考】1．考查定积分的概念，定积分的几何意义，微积分基本定理．2．利用定积分求曲边形面积、变力做功、变速运动的质点的运动路程.考点梳理1．定积分(1)定积分的定义及相关概念如果函数f(x)在区间[a，b]上连续，用分点a＝x0

2、a，b]上的定积分，记作f(x)dx.在f(x)dx中，a与b分别叫做积分下限与积分上限，区间[a，b]叫做积分区间，f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式．(2)定积分的性质①kf(x)dx＝kf(x)dx(k为常数)．②[f1(x)±f2(x)]dx＝f1(x)dx±f2(x)dx.③f(x)dx＝f(x)dx＋f(x)dx(其中a

3、顿—莱布尼兹公式．3．定积分的应用(1)定积分与曲边梯形的面积定积分的概念是从曲边梯形面积引入的，但是定积分并不一定就是曲边梯形的面积．这要结合具体图形来定：设阴影部分面积为S.①S＝f(x)dx；②S＝－f(x)dx；③S＝f(x)dx－f(x)dx；④S＝f(x)dx－g(x)dx＝[f(x)－g(x)]dx.(2)匀变速运动的路程公式作变速直线运动的物体所经过的路程s，等于其速度函数v＝v(t)(v(t)≥0)在时间区间[a，b]上的定积分，即s＝v(t)dt.【助学·微博】一个公式由微积分基本定理可知求定积分的关键

4、是求导函数的原函数，由此可知，求导与积分是互为逆运算．两条结论(1)当对应的曲边梯形位于x轴上方时，定积分的值为正，当对应的曲边梯形位于x轴下方时，定积分的值为负，当位于x轴上方的曲边梯形与位于x轴下方的曲边梯形面积相等时，定积分的值为零．(2)当定积分在物理中应用时，要知道加速度对时间积分为速度，速度对时间积分是路程．三条性质(1)常数可提到积分号外；(2)和差的积分等于积分的和差；(3)积分可分段进行．考点自测1．下列积分的值等于1的是(　　)．A.xdxB.(x＋1)dxC.1dxD.dx解析　ldx＝x＝1.答案　

5、C2．(2011·福建)(ex＋2x)dx等于(　　)．A．1B．e－1C．eD．e＋1解析　(ex＋2x)dx＝＝(e＋1)－1＝e.答案　C3．(2011·湖南)由直线x＝－，x＝，y＝0与曲线y＝cosx所围成的封闭图形的面积为(　　)．A.B．1C.D.解析　S＝∫－cosxdx＝2∫0cosxdx＝0＝.答案　D4．(人教A版教材习题改编)汽车以v＝(3t＋2)m/s作变速直线运动时，在第1s至第2s间的1s内经过的路程是________．解析　s＝(3t＋2)dt＝＝×4＋4－＝10－＝(m)．答案　m5．(2

6、012·江西)计算定积分－1(x2＋sinx)dx＝________.解析　∵′＝x2＋sinx，∴－1(x2＋sinx)dx＝＝.答案　考向一　定积分的计算【例1】　计算以下定积分(1)dx；(2)dx；(3)－1(xcosx－5sinx＋2)dx；(4)

7、3－2x

8、dx.[审题视点]求积分关键是求其原函数，当原函数较难求时，可考虑由其几何意义解得．解　(1)函数y＝2x2－的一个原函数是y＝x3－lnx，所以(2x2－)dx＝(x3－lnx)

9、＝－ln2－＝－ln2.(2)y＝＝⇔⇔⇔由图形可知：dx＝(3)因为y＝x

10、cosx－5sinx为奇函数，所以－1(xcosx－5sinx＋2)dx＝＝4.(4)

11、3－2x

12、dx＝∫1

13、3－2x

14、dx＋

15、3－2x

16、dx＝∫1(3－2x)dx＋(2x－3)dx＝(3x－x2)＋(x2－3x)＝.(1)根据积分的几何意义可利用面积求积分．(2)若y＝f(x)为奇函数，则－af(x)dx＝0.(3)被积函数是绝对值函数或分段函数，那么可以利用定积分的性质f(x)dx＝f(x)dx＋f(x)dx，根据函数的定义域，将积分区间分解为若干部分，代入相应的解析式，分别求出积分值，相加即可．【训练1】计算

17、x2－

18、4

19、dx＝(　　)．A.B.C.D.解析　

20、x2－4

21、dx＝(4－x2)dx＋(x2－4)dx＝＋＝.答案　C考向二　利用定积分求面积【例2】►求曲线y＝x2，直线y＝x，y＝3x围成的图形的面积．[审题视点]画出图形，由图象交点确定积分区间，由图象中曲线间的位置关系确定被积函数，然后用积分求面积．解