高考数学复习专题练习第4讲 定积分的概念与微积分基本定理.pdf

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1、第4讲定积分的概念与微积分基本定理一、选择题11．(ex＋2x)dx等于()∫0A．1B．e－1C．eD．e＋1解析∵(ex＋x2)′＝ex＋2x，1∴(ex＋2x)dx＝(ex＋x2)

2、10∫0＝(e1＋12)－(e0＋0)＝e.答案C22．已知f(x)＝2－

3、x

4、，则－∫1f(x)dx等于()．79A．3B．4C.D.22解析　f(x)＝2－

5、x

6、＝Error!20237∴－∫1f(x)dx＝－∫1(2＋x)dx＋∫(2－x)dx＝Error!－01＋Error!20＝＋2＝.022答案　C3．函数f(x)满足f(0)＝0，其导函数f′(x

7、)的图象如图所示，则f(x)的图象与x轴所围成的封闭图形的面积为()．14A.B.338C．2D.3解析　由导函数f′(x)的图象可知函数f(x)为二次函数，且对称轴为x＝－1，开口方向向上．设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)，由f(0)＝0，得c＝0.f′(x)＝2ax＋b，因过点(－1,0)与(0,2)，则有Error!∴Error!∴f(x)＝x2＋2x，则f(x)的图象01与x轴所围成的封闭图形的面积为S＝－∫2(－x2－2x)dx＝Error!－02＝×(－342)3＋(－2)2＝.3答案　Ba14．若∫(2x＋dx＝3＋ln

8、2(a>1)，则a的值是1x)()．A．2B．3C．4D．6a1解析　∫(2x＋dx＝(x2＋lnx)Error!＝a2＋lna－1＝3＋ln2，即a＝2.1x)答案　A25．曲线y＝与直线y＝x－1及x＝4所围成的封闭图形的面积为()xA．2－ln2B．4－2ln2C．4－ln2D．2ln22解析y＝与直线y＝x－1及x＝4所围成的面积为如图所示的阴影部分，[来x联立Error!得在第一象限的交点为(2,1)，42故所求面积为x－1－dx∫2(x)＝Error!42＝4－2ln2.答案B6．如图所示，在一个边长为1的正方形AOBC内，曲线y＝

9、x2和曲线y＝x围成一个叶形图(阴影部分)，向正方形AOBC内随机投一点(该点落在正方形AOBC内任何一点是等可能的)，则所投的点落在叶形图内部的概率是()．1111A.B.C.D.26431解析　依题意知，题中的正方形区域的面积为12＝1，阴影区域的面积等于∫011(x－x2)dx＝Error!10＝，因此所投的点落在叶形图内部的概率等于，选D.33答案　D二、填空题7．设a>0，若曲线y＝x与直线x＝a，y＝0所围成封闭图形的面积为a2，则a＝________.a234解析　S＝∫xdx＝Error!a0＝a＝a2，∴a＝.03294答案　

10、93408．已知f(x)＝Error!若∫f(x)dx＝(k<2)．则k＝________.k332340解析　∫f(x)dx＝∫(2x＋1)dx＋∫(1＋x2)dx＝，所以得到k2＋k＝0，即k＝0kk23或k＝－1.答案　0或－1219．设f(x)＝xn＋ax的导函数为f′(x)＝2x＋1且∫f(－x)dx＝m，则(mx＋12展开16)式中各项的系数和为________．2解析　因为f(x)＝xn＋ax的导函数为f′(x)＝2x＋1.故n＝2，a＝1.所以∫f(－1251x)dx＝∫(x2－x)dx＝Error!21＝＝m所以mx＋12展开

11、式中各项的系数和为16(6)51(＋12＝1.66)答案　110．设函数f(x)＝ax3－3x＋1(x∈R)，若对于任意x∈[－1,1]，都有f(x)≥0成立，则实数a的值为________．解析(构造法)若x＝0，则不论a取何值，f(x)≥0显然成立；313当x＞0，即x∈(0,1]时，f(x)＝ax3－3x＋1≥0可化为a≥－.设g(x)＝－x2x3x2131－2x，则g′(x)＝，x3x411所以g(x)在区间0，上单调递增，在区间，1上单调递减，(2][2]1因此g(x)max＝g＝4，从而a≥4.[来源:学§科§网](2)31当x

12、＜0，即x∈[－1,0)时，同理a≤－.x2x3g(x)在区间[－1,0)上单调递增，∴g(x)min＝g(－1)＝4，从而a≤4，综上可知a＝4.答案4三、解答题11217fx11．已知f(x)是一次函数，且∫f(x)dx＝5，∫xf(x)dx＝，求∫dx的值．0061x解　∵f(x)是一次函数，∴可设f(x)＝ax＋b(a≠0)．1111∴∫f(x)dx＝∫(ax＋b)dx＝(ax2＋bx)Error!＝a＋b.00221∴a＋b＝5.①211又∫xf(x)dx＝∫x(ax＋b)dx001111＝(ax3＋bx2)Error!＝a＋b.

13、32321117∴a＋b＝.②326解①②得a＝4，b＝3，∴f(x)＝4x＋3，222fx4x＋33∴∫dx＝∫dx＝∫(4＋dx1x1x1x)