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《特级教师高考数学首轮复习第20讲-定积分与微积分基本定理》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、一、知识结构二、重点叙述1.定积分①定积分的背景Ⅰ、求曲边梯形的面积:Ⅱ、汽车行驶的路程:②定积分概念Ⅰ、定积分的定义:如图,曲边梯形面积;如图,变速运动的路程。一般地,如果函数f(x)在区间[a,b]上连续,用分点 将区间[a,b]等分成n个小区间,在每个小区间上任取一点,做和式 ,当时,上述和式无限接近某个常数,这个常数叫做函数f(x)在区间[a,b]上的定积分,记作,即,这里,a与b分别叫做积分下限与积分上限,区间[a,b]叫做积分区间,函数f(x)叫做被积函数,x叫做积分变量,f(x)dx叫
2、做被积式。Ⅱ、定义的说明:(1)定积分数值只与被积函数及积分区间[a,b]有关, 与积分变量记号无关,即(2)定义中区间[a.b]的分法和的取法是任意的。(3)当函数f(x)在区间[a,b]上的定积分存在时,称f(x)在区间[a,b]上可积。③定积分的几何意义定积分的几何意义是:如果在区间[a,b]上函数f(x)连续且恒有f(x)≥0,那么定积分表示由直线x=a,x=b(a≠b),y=0和曲线y=f(x)所围成的曲边梯形的面积。④定积分的性质Ⅰ、(k为常数);Ⅱ、;Ⅲ、2.微积分基本定理①微积分基本定理一般地,如果f(x)是区间[
3、a,b]上的连续函数,并且,那么这个结论叫做微积分基本定理。又叫做牛顿-莱布尼茨公式。记作,于是②定积分的计算如果f(x)是区间[a,b]上的连续函数,并且,那么。3.定积分的应用①定积分的基本运算;②求平面图形面积;③定积分在物理中的应用三、案例分析案例1：求下列定积分：（1）； （2）；（3）（2009福建·理4）等于----------（ ）A.B.2C.D. 答案：(1);(2);(3)D。难度：未设置考查点：暂无解析：分析：根据微积分基本定理，先求出函数，使得，进而计算。解：(1)∵，∴。(2)∵,∴
4、。(3)∵，∴。 案例2：（1）设则等于_________。（2）（2008山东·理14）设函数。若，0≤x0≤1，则x0的值为______________。答案：(1);(2)。分析：(1)根据定积分的性质，求分段函数的定积分；(2)先求定积分，进而把含定积分的方程转化为代数方程解之。解：(1)∵∴。(2)∵，且，∴∵，∴，。案例3：（1）求曲线与直线所围成的平面图形的面积：（2）（2007海南、宁夏·理10）曲线在点处的切线与坐标轴所围成三角形的面积为A．B.C.D.
答案：(1);(2)D.。分析：(1)本小题根据定积5、分的几何意义，把求由曲线所围成的平面图形的面积转化为求定积分的计算；(2)本小题用直接法，先求曲线在点处的切线，再根据定积分的几何意义，把求由切线与坐标轴所围成三角形的面积转化为求定积分的计算。在解题中，注意区分曲线在x轴的上方还是下方。解：(1)∵，解得。∴。 所以所围成的平面图形的面积为。(2)∵，∴过点的切线方程为，即。令，解得。∴。故选D。所以切线与坐标轴所围成三角形的面积为。案例4：已知，求在[t，+∞）上的最大值。答案：,分析：利用微积分基本定理求函数的解析式，函数的解析式是的二次函数，相对于动区间求函数的最大值
6、，注意二次函数的对称轴相对于区间端点的分类。解：∵，①当时，函数在[t，+∞）上单调递减，∴。②当时，函数在上单调递增，在上单调递减，∴。所以函数函数在[t，+∞）上的最大值为案例5：一物体做方程为的直线运动，其中x为物体在时间t内通过的位移，媒介的阻力与速度的平方成正比，比例系数为7，求物体由x=0运动到x=a时阻力所做的功。答案：。分析：由导数的物理意义，速度是位移对时间的导数，求得运动物体的媒介阻力。由定积分的物理意义可得物体由x=0运动到x=a时阻力所做的功为，计算定积分求得阻力所做的功。注意，被积函数的自变量与积分变量不
7、一致时，要实施变量代换，使之统一，然后计算定积分。解：∵物体在时间t内通过的位移为，∴。设媒介的阻力为，则，∴物体由x=0运动到x=a时阻力所做的功为。∵，∴。所以物体运动时阻力所做的功为。
