第三篇导数及其应用第4讲定积分的概念与微积分基本定理

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1、导数及其应用第4讲定积分的概念与微积分基本定理【2013年高考会这样考】1.考查定积分的概念，定积分的几何意义，微积分基木定理.2.利用定积分求曲边形而积、变力做功、变速运动的质点的运动路程.【复习指导】定积分的考查频率不是很高，木讲复习主要掌握定积分的概念和几何意义，使用微积分基本定理计算定积分，使用定积分求曲边图形的面积和解决一些简单的物理问题等.必考必记丫教学相长力考基自主导学基础梳理1.定积分（1）定积分的定义及相关概念如果函数/（x）在区间［q,切上连续，用分点a=xo

2、间［a,b］等分成"个小区间，在每个小区间［xi-i,兀］上任取一点乙（,=1,2,・••，〃），作h——a和式飒©）心=卩一厂/（乙），当刃f00时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫/=1/=!fl做函数/（X）在区间［d,切上的定积分,,。与b分别叫做积分下限与积分上限，区间帀，6叫做积分区间,/（X）叫做被积函数，工叫做积分变量，心）dx叫做被积式.（2）定积分的性质①f=血皿伙为常数）.②严（兀）±朋）皿=£3~/(x)dx=,/(x)dx+『/(xjdx(其屮a

3、x=F(b)—F(d),如果/(X)是区间[G，切上的连续函数，并且F(X)=/(X),这个结论叫微积分基本定理，乂叫牛顿一莱布尼兹公式.2.定积分的应用(1)定积分与曲边梯形的面积定积分的概念是从曲边梯形面积引入的，但是定积分并不一定就是曲边梯形的面积.设阴影部分面积为S.®S=附dx；a©S=—怀)dx；③S=

4、7(x)dr-'7W

5、7(x)dx—zg(x)dx=“a"[/(x)—g(x)]dx.a(2)匀变速运动的路程公式作变速直线运动的物体所经过的路程s,等于其速度函数v=v(Z)(v(/)^O)在时间区间[

6、q,b]上的定积分，E

7、Js=[bv(t)d/・Ja^助彥枇博—种思想吏积分基本昼想的核.空是上以.直代曲…用有限二的步骤解•决上尢.限二过程的凹題.'…甚方法是.二分割求近似.?…求和舉扱隊別用这程方法.可推导球•的.表回积1.微积分基本定理那么f/(x)dx=F(b)—F(d),如果/(X)是区间[G，切上的连续函数，并且F(X)=/(X),这个结论叫微积分基本定理，乂叫牛顿一莱布尼兹公式.2.定积分的应用(1)定积分与曲边梯形的面积定积分的概念是从曲边梯形面积引入的，但是定积分并不一定就是曲边梯形的面积.设阴影部分面积为S.

8、®S=附dx；a©S=—怀)dx；③S=

9、7(x)dr-'7W

10、7(x)dx—zg(x)dx=“a"[/(x)—g(x)]dx.a(2)匀变速运动的路程公式作变速直线运动的物体所经过的路程s,等于其速度函数v=v(Z)(v(/)^O)在时间区间[q,b]上的定积分，E

11、Js=[bv(t)d/・Ja^助彥枇博—种思想吏积分基本昼想的核.空是上以.直代曲…用有限二的步骤解•决上尢.限二过程的凹題.'…甚方法是.二分割求近似.?…求和舉扱隊別用这程方法.可推导球•的.表回积和体积公式等:…昼楂斯賈经把对数的发朋二…解析几但

12、的创始以衣微积分的建立并称为丄7.世纟E数学的二•坦成就:…三条性质(」)常一数可提到一积分号处;…(2)和羞的积分等于积分的和羞;(3)积分可分段•选彳亍：…一个公式也微积分基本嵐理可金求匡积分的关镀是求导函一数的原函数2…也此可矩2…求导当积分是亘为逆运算:…双基自测1•(2011-福建)「(e”+2x)dx镀基旨测)・•0A.1B.e-1C.eD.e+1解析"(e“+2x)dx0=(e+1)-1=e.答案cTTTT2.(2011•湖南)由直线X=—亍,兀=亍，y=o与曲线y=cos兀所围成的封闭图形的面积为().A.

13、B.1

14、C芈D.y/3解析S=j彳_彳cosxdx=2fyocosxdx=2sinx

15、^0=答案D1.(2011-山东)由曲线y=x2,y=x3m成的封闭图形面积为)•1A•迁1B4eg由丿解析2V=X•>_3得交点坐标为(0,0),(1,1),因此所求图形面y~x?答案A1.如图，在一个长为兀，宽为2的矩形OABC内，曲线尸sinx（OWxWjr）与x轴围成如图所示的阴影部分，向矩形OMBC内随机投一点（该点落在矩形Q4BC内任何一点是等可能的），则所投的点落在阴影部分的概率是（）.B.一解析阴影部分的面积S=「sinxck=-cosx

16、$=一（一1一］）=Jo2,矩形的面积为2兀概率—阴影部分的面积矩形面积22兀=：.故应选A.+2/l

17、t=

18、X4+4-l

19、+2l=10-

20、答案A5.（人教A版教材习题改编）汽车以v=（3/+2）m/s作变速直线运动时，在第1s至第2s间的1s内经