2018_2019学年高中数学第一章三角函数6余弦函数的图像与性质学案北师大版必修

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1、§6 余弦函数的图像与性质内容要求 1.了解余弦函数与正弦函数之间的关系.2.理解“五点法”作出余弦函数的图像(重点).3.掌握余弦函数的图像性质及其运用(难点).知识点1 余弦函数的图像余弦函数y=cosx(x∈R)的图像叫余弦曲线.根据诱导公式sin=cosx,x∈R.只需把正弦函数y=sinx,x∈R的图像向左平移个单位长度即可得到余弦函数图像(如图).要画出y=cosx,x∈[0,2π]的图像,可以通过描出(0,1),,(π,-1),,(2π,1)五个关键点,再用光滑曲线将它们连接起来,就可以得到余弦函数y=cosx,x∈[0,2π]的图像.【预习评价】 (正确的打“√”,错误的

2、打“×”)(1)余弦函数y=cosx的图像可以向左、向右无限伸展.(√)(2)y=cosx的图像与y=sinx的形状完全一样,只是位置不同(√)(3)y=cosx的图像与x轴有无数个交点(√)(4)y=cosx的图像关于y轴对称(√)知识点2 余弦函数的性质函数y=cosx定义域R值域[-1,1]奇偶性偶函数周期性2π为最小正周期单调性当x∈[2kπ-π,2kπ](k∈Z)时,递增;当x∈[2kπ,2kπ+π](k∈Z)时,递减最大值与最小值当x=2kπ(k∈Z)时,最大值为1;当x=2kπ+π(k∈Z)时,最小值为-1【预习评价】 (正确的打“√”,错误的打“×”)11(1)y=-co

3、sx的最小正周期为2π.(√)(2)函数y=-cosx在区间[0,]上是增函数.(√)(3)函数y=sin(x-)的图像关于x=0对称.(√)(4)函数y=sin(-x)是奇函数.(×)题型一 余弦函数的图像及应用【例1】 画出y=cosx(x∈R)的简图,并根据图像写出:(1)y≥时x的集合;(2)-≤y≤时x的集合.解 用“五点法”作出y=cosx的简图.(1)过点作x轴的平行线,从图像中看出:在[-π,π]区间与余弦曲线交于,点,在[-π,π]区间内,y≥时,x的集合为.当x∈R时,若y≥,则x的集合为.(2)过,点分别作x轴的平行线,从图像中看出它们分别与余弦曲线交于,k∈Z,,

4、k∈Z点和,k∈Z,,k∈Z点,那么曲线上夹在对应两直线之间的点的横坐标的集合即为所求,即当-≤y≤时x的集合为:或.规律方法 “五点法”画函数图像的三个步骤11【训练1】 (1)函数y=cos2x,x∈[0,2π]的简图是(  )解析 由2x=0,,π,,2π可得五点,描图知,A为x∈[0,π]上的简图;D为x∈[0,2π]上的简图.答案 D(2)作出函数y=1-cosx在[-2π,2π]上的图像.解 ①列表:x0π2πy=cosx10-101y=1-cosx11②作出y=1-cosx在x∈[0,2π]上的图像.由于该函数为偶函数,作关于y轴对称的图像.从而得出y=1-cosx在x∈[

5、-2π,2π]上的图像.11题型二 余弦函数的性质【例2】 已知f(x)=2+cosx.(1)判断函数的奇偶性;(2)求函数的单调区间;(3)求函数的最小正周期.解 (1)∵f(x)=2+cosx的定义域为R且f(-x)=f(x),∴函数f(x)=2+cosx为偶函数.(2)∵y=cosx在[2kπ-π,2kπ](k∈Z)上是增加的,在[2kπ,2kπ+π](k∈Z)上是减少的,∴y=2+cosx的单调递增区间为[2kπ-π,2kπ](k∈Z),单调递减区间为[2kπ,2kπ+π](k∈Z).(3)由cosx的周期性知y=2+cosx的最小正周期为2π.规律方法 对于余弦函数的性质,要善

6、于结合余弦函数图像并类比正弦函数的相关性质进行记忆,其解题规律方法与正弦函数的对应性质解题方法一致.【训练2】 (1)求函数y=1-cosx的单调区间;(2)比较cos与cos的大小.解 (1)∵-<0,∴y=1-cosx的单调性与y=cosx的单调性相反.∵y=cosx的单调增区间是[2kπ-π,2kπ](k∈Z),减区间是[2kπ,2kπ+π](k∈Z).∴y=1-cosx的单调减区间是[2kπ-π,2kπ](k∈Z),增区间是[2kπ,2kπ+π](k∈Z).(2)cos=cos=cos.cos=cos.又0<<<π,且函数y=cosx在[0,π]上是减少的,∴cos>cos,即c

7、os<cos.11【例3】 函数y=-cos2x+cosx的值域为________.解析 y=-2+.因为-1≤cosx≤1,所以当cosx=时,ymax=.当cosx=-1时,ymin=-2.所以函数y=-cos2x+cosx的值域是.答案 【迁移1】 求本例中x∈时函数的值域.解 ∵y=-2+,因为x∈,所以≤cosx≤1.所以当cosx=时ymax=,cosx=1时ymin=0,∴原函数的值域为[0,].【迁移2】 求本例中x

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