2018_2019学年高中数学第一章三角函数6余弦函数的图像与性质学案北师大版

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1、§6　余弦函数的图像与性质内容要求　1.了解余弦函数与正弦函数之间的关系.2.理解“五点法”作出余弦函数的图像(重点).3.掌握余弦函数的图像性质及其运用(难点)．知识点1　余弦函数的图像余弦函数y＝cosx(x∈R)的图像叫余弦曲线．根据诱导公式sin＝cosx，x∈R.只需把正弦函数y＝sinx，x∈R的图像向左平移个单位长度即可得到余弦函数图像(如图)．要画出y＝cosx，x∈[0,2π]的图像，可以通过描出(0,1)，，(π，－1)，，(2π，1)五个关键点，再用光滑曲线将它们连接起来，就可以得到余弦函数

2、y＝cosx，x∈[0,2π]的图像．【预习评价】　(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)余弦函数y＝cosx的图像可以向左、向右无限伸展．(√)(2)y＝cosx的图像与y＝sinx的形状完全一样，只是位置不同(√)(3)y＝cosx的图像与x轴有无数个交点(√)(4)y＝cosx的图像关于y轴对称(√)知识点2　余弦函数的性质函数y＝cosx定义域R值域[－1,1]奇偶性偶函数周期性2π为最小正周期单调性当x∈[2kπ－π，2kπ](k∈Z)时，递增；当x∈[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)时，递减最大值与最

3、小值当x＝2kπ(k∈Z)时，最大值为1；当x＝2kπ＋π(k∈Z)时，最小值为－1【预习评价】　(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)y＝－cosx的最小正周期为2π.(√)(2)函数y＝－cosx在区间[0，]上是增函数．(√)(3)函数y＝sin(x－)的图像关于x＝0对称．(√)(4)函数y＝sin(－x)是奇函数．(×)题型一　余弦函数的图像及应用【例1】　画出y＝cosx(x∈R)的简图，并根据图像写出：(1)y≥时x的集合；(2)－≤y≤时x的集合．解　用“五点法”作出y＝cosx的简图．(1)过

4、点作x轴的平行线，从图像中看出：在[－π，π]区间与余弦曲线交于，点，在[－π，π]区间内，y≥时，x的集合为.当x∈R时，若y≥，则x的集合为.(2)过，点分别作x轴的平行线，从图像中看出它们分别与余弦曲线交于，k∈Z，，k∈Z点和，k∈Z，，k∈Z点，那么曲线上夹在对应两直线之间的点的横坐标的集合即为所求，即当－≤y≤时x的集合为：或.规律方法　“五点法”画函数图像的三个步骤【训练1】　(1)函数y＝cos2x，x∈[0,2π]的简图是(　　)解析　由2x＝0，，π，，2π可得五点，描图知，A为x∈[0，π]

5、上的简图；D为x∈[0,2π]上的简图．答案　D(2)作出函数y＝1－cosx在[－2π，2π]上的图像．解　①列表：x0π2πy＝cosx10－101y＝1－cosx11②作出y＝1－cosx在x∈[0,2π]上的图像．由于该函数为偶函数，作关于y轴对称的图像．从而得出y＝1－cosx在x∈[－2π，2π]上的图像．题型二　余弦函数的性质【例2】　已知f(x)＝2＋cosx.(1)判断函数的奇偶性；(2)求函数的单调区间；(3)求函数的最小正周期．解　(1)∵f(x)＝2＋cosx的定义域为R且f(－x)＝f(

6、x)，∴函数f(x)＝2＋cosx为偶函数．(2)∵y＝cosx在[2kπ－π，2kπ](k∈Z)上是增加的，在[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)上是减少的，∴y＝2＋cosx的单调递增区间为[2kπ－π，2kπ](k∈Z)，单调递减区间为[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)．(3)由cosx的周期性知y＝2＋cosx的最小正周期为2π.规律方法　对于余弦函数的性质，要善于结合余弦函数图像并类比正弦函数的相关性质进行记忆，其解题规律方法与正弦函数的对应性质解题方法一致．【训练2】　(1)求函数y＝1－cosx的单调区间

7、；(2)比较cos与cos的大小．解　(1)∵－＜0，∴y＝1－cosx的单调性与y＝cosx的单调性相反．∵y＝cosx的单调增区间是[2kπ－π，2kπ](k∈Z)，减区间是[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)．∴y＝1－cosx的单调减区间是[2kπ－π，2kπ](k∈Z)，增区间是[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)．(2)cos＝cos＝cos.cos＝cos.又0＜＜＜π，且函数y＝cosx在[0，π]上是减少的，∴cos＞cos，即cos＜cos.【例3】　函数y＝－cos2x＋cosx的值域为______

8、__．解析　y＝－2＋.因为－1≤cosx≤1，所以当cosx＝时，ymax＝.当cosx＝－1时，ymin＝－2.所以函数y＝－cos2x＋cosx的值域是.答案　【迁移1】　求本例中x∈时函数的值域．解　∵y＝－2＋，因为x∈，所以≤cosx≤1.所以当cosx＝时ymax＝，cosx＝1时ymin＝0，∴原函数的值域为[0，]．【迁移2】　求本例中x∈时函数的值域．