高中数学三角函数6余弦函数的图像与性质教学案北师大版

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1、6余弦函数的图像与性质[核心必知]余弦函数的图像与性质函数y＝cosx图像定义域R值域[－1,1]最值当x＝2kπ(k∈Z)时，ymax＝1；当x＝2kπ＋π(k∈Z)时，ymin＝－1周期性周期函数，T＝2π奇偶性偶函数，图像关于y轴对称单调性在[2kπ－π，2kπ](k∈Z)上是增加的；在[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)上是减少的[问题思考]1．如何由y＝cosx，x∈R的图像得到y＝sinx，x∈R的图像？提示：只需将y＝cosx，x∈R的图像向右平移个单位即可得到y＝sinx，x∈R的图像，并且方法不唯一．2．余弦函数在第一象限内是减函数吗？提示：不是．余

2、弦函数y＝cosx在[0，]内是减函数，但不能说在第一象限是减函数，如390°和60°都是第一象限的角，虽然390°>60°，但cos60°＝，cos390°＝.却有cos60°

3、x0π2πy01210　　描点并将它们用光滑的曲线连接起来如图所示：1．画余弦函数的图像，与画正弦函数图像的方法一样，关键要确定五个点．这五个点的坐标是(0，1)，，(π，－1)，，(2π，1)．2．形如y＝acosx＋b，x∈[0，2π]的函数，也可由五点法画图像．练一练1．用“五点法”画出y＝3＋2cosx(x∈[0，2π])的图像．解：(1)列表x0π2πy＝cosx10－101-11-y＝3＋2cosx53135(2)描点，连线，如图所示：讲一讲2．(1)求下列函数的定义域．①y＝；　②y＝log(2cosx－)．(2)求函数y＝3－2cos(2x－)

4、，x∈的值域．[尝试解答]　(1)①要使函数有意义，则有－cosx≥0，∴cosx≤.可得2kπ＋≤x≤2kπ＋，k∈Z.故所求函数的定义域为.②要使函数有意义，则有2cosx－>0，∴cosx>，故所求定义域为.(2)∵≤x≤，∴0≤2x－≤.∵y＝cosx在[0，π]上单调递减，∴－≤cos(2x－)≤1，-11-∴1≤3－2cos(2x－)≤4，故函数的值域为[1，4]．1．求三角函数的定义域，应归结为解三角不等式，其关键就是建立使函数有意义的不等式(组)，利用三角函数的图像直观地求得解集．2．求三角函数的值域，要充分利用sinx和cosx的有界性，对于x有

5、限制范围的，可结合图像求值域．练一练2.求函数y＝3cos2x－4cosx＋1，x∈的最值．解：y＝3cos2x－4cosx＋1＝3(cosx－)2－.∵x∈，cosx∈，从而当cosx＝－，即x＝时，ymax＝；当cosx＝，即x＝时，ymin＝－.∴函数在区间上的最大值为，最小值为－.讲一讲3．(1)判断函数f(x)＝cos(π－x)－xcos(－x)的奇偶性．(2)求函数y＝cos(－x)的单调减区间．[尝试解答]　(1)∵f(x)＝cos(π－x)－xcos(－x)＝－cosx－xsinx，∴f(－x)＝－cos(－x)－(－x)sin(－x)＝－co

6、sx－xsinx＝f(x)．∴函数f(x)是偶函数．(2)y＝cos(－x)＝cos(x－)，-11-令2kπ≤x－≤π＋2kπ(k∈Z)，得＋2kπ≤x≤＋2kπ(k∈Z)．∴函数y＝cos的单调减区间是k∈Z.1．判断三角函数的奇偶性，首先要观察定义域是否关于原点对称，在定义域关于原点对称的前提下，再根据f(－x)与f(x)的关系确定奇偶性．2．确定三角函数的单调区间，在理解基本三角函数的单调性的前提下，运用整体代换的思想求解．练一练3．比较下列各组值的大小．(1)cos与cos；(2)sin194°与cos160°.解：(1)cos＝cos＝cos＝－co

7、s.而cos＝－cos∵0<<<.∴cos>cos.∴coscos76°，∴－cos20°<－cos76°，∴sin194°>cos160°.函数y＝2cosx(0≤x≤2π)的图像和直线y＝2围成一个封闭的平面图形，则这个封闭图形的面积是(　　)A．4　　　　　　　　B．8C．2πD．4π[解析]　法一：作出函数y＝2cosx，x∈[0，2π]的图像，函数

8、y＝2co