6余弦函数的图像与性质

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1、第一章三角函数§6余弦函数的图像与性质学习目标1.会用“五点法”“图像变换法”作余弦函数的图像.2.理解余弦函数的性质，会求y＝Acosx＋B的单调区间及最值.3.会利用余弦函数的单调性比较三角函数值的大小，能根据图像解简单的三角不等式.题型探究问题导学内容索引当堂训练问题导学思考1知识点一　余弦函数的图像根据y＝sinx和y＝cosx的关系，你能利用y＝sinx，x∈R的图像得到y＝cosx，x∈R的图像吗？答案答案能，根据cosx＝sin(x＋)，只需把y＝sinx，x∈R的图像向左平移个单位长度，

2、即可得到y＝cosx，x∈R的图像.思考2类比“五点法”作正弦函数图像，那么余弦函数图像能否用“五点法”作图？若能，y＝cosx，x∈[0，2π]五个关键点分别是什么？答案答案能，五个关键点分别是(0，1)，(，0)，(π，－1)，(，0)，(2π，1).梳理余弦函数y＝cosx(x∈R)的图像叫作.余弦曲线思考1知识点二　余弦函数的性质余弦函数的最值是多少？取得最值时的x值是多少？答案对于余弦函数y＝cosx，x∈R有：当且仅当x＝2kπ，k∈Z时，取得最大值1；当且仅当x＝(2k＋1)π，k∈Z时，

3、取得最小值－1；观察余弦函数y＝cosx，x∈[－π，π]的图像：函数y＝cosx，x∈[－π，π]的图像如图所示.答案思考2余弦函数在[－π，π]上函数值的变化有什么特点？推广到整个定义域呢？答案观察图像可知：当x∈[－π，0]时，曲线逐渐上升，是增函数，cosx的值由－1增大到1；当x∈[0，π]时，曲线逐渐下降，是减函数，cosx的值由1减小到－1.推广到整个定义域可得当x∈[2kπ－π，2kπ]，k∈Z时，余弦函数y＝cosx是增函数，函数值由－1增大到1；当x∈[2kπ，(2k＋1)π]，k∈

4、Z时，余弦函数y＝cosx是减函数，函数值由1减小到－1.答案梳理函数y＝cosx定义域R值域[－1，1]奇偶性偶函数周期性以2kπ为周期(k∈Z，k≠0)，2π为最小正周期单调性当x∈[2kπ＋π，2kπ＋2π](k∈Z)时，函数是增加的；当x∈[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)时，函数是减少的最大值与最小值当x＝2kπ(k∈Z)时，最大值为1；当x＝2kπ＋π(k∈Z)时，最小值为－1题型探究解答类型一　用“五点法”作余弦函数的图像例1用“五点法”作函数y＝1－cosx(0≤x≤2π)的简图.解列表：

5、x0π2πcosx10－1011－cosx01210描点并用光滑的曲线连接起来，如图所示.作形如y＝acosx＋b，x∈[0，2π]的图像时，可由“五点法”作出，其步骤：①列表，取x＝0，，π，，2π；②描点；③用光滑曲线连线成图.反思与感悟解答跟踪训练1用“五点法”作函数y＝2cosx＋1，x∈[0，2π]的简图.描点，连线得：类型二　余弦函数单调性的应用例2(1)函数y＝3－2cosx的递增区间为__________________.[2kπ，π＋2kπ](k∈Z)答案解析解析y＝3－2cosx与y

6、＝3＋2cosx的单调性相反，由y＝3＋2cosx的递减区间为[2kπ，π＋2kπ](k∈Z)，∴y＝3－2cosx的递增区间为[2kπ，π＋2kπ](k∈Z).解答单调性是对一个函数的某个区间而言的，不同函数，不在同一单调区间内时，应先用诱导公式进行适当转化，转化到同一单调区间内，再利用函数的单调性比较大小.反思与感悟跟踪训练2比较大小.解答(2)sin378°与cos(－641°).解答解sin378°＝sin(360°＋18°)＝sin18°＝sin(90°－72°)＝cos72°，cos(－64

7、1°)＝cos(720°－641°)＝cos79°，又cos72°>cos79°，∴sin378°>cos(－641°).类型三　余弦函数的定义域和值域解答例3(1)求f(x)＝的定义域.解答(2)求下列函数的值域.①y＝－cos2x＋cosx；∵－1≤cosx≤1，当cosx＝－1时，ymin＝－2.解答∵－1≤cosx≤1，∴1≤2＋cosx≤3，求值域或最大值、最小值问题的依据(1)sinx，cosx的有界性.(2)sinx，cosx的单调性.(3)化为sinx＝f(y)或cosx＝f(y)，利用

8、

9、f(y)

10、≤1来确定.(4)通过换元转化为二次函数.反思与感悟答案解析当堂训练A.－1，3B.－1，1C.0，3D.0，1√2341答案解析5∴ymin＝－1，ymax＝3.答案√2.下列函数中，周期为π，且在上为增函数的是23415答案解析2341523415解析∵0°<15°<35°<90°，且y＝cosx在[0°，90°]上是减少的，∴cos15°>cos35°.4.比较大小：(1)cos15°___cos35°；>23415答案解