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时间:2020-07-04
《高中数学 第一章 三角函数 6 余弦函数的图像与性质教学案 北师大版必修.doc》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、6余弦函数的图像与性质[核心必知]余弦函数的图像与性质函数y=cosx图像定义域R值域[-1,1]最值当x=2kπ(k∈Z)时,ymax=1;当x=2kπ+π(k∈Z)时,ymin=-1周期性周期函数,T=2π奇偶性偶函数,图像关于y轴对称单调性在[2kπ-π,2kπ](k∈Z)上是增加的;在[2kπ,2kπ+π](k∈Z)上是减少的[问题思考]1.如何由y=cosx,x∈R的图像得到y=sinx,x∈R的图像?提示:只需将y=cosx,x∈R的图像向右平移个单位即可得到y=sinx,x∈R的图像,并且方法不唯一.2.余
2、弦函数在第一象限内是减函数吗?提示:不是.余弦函数y=cosx在[0,]内是减函数,但不能说在第一象限是减函数,如390°和60°都是第一象限的角,虽然390°>60°,但cos60°=,cos390°=.却有cos60°3、出函数y=1-cosx,x∈[0,2π]的图像.[尝试解答] 按五个关键点列表:x0π2πy01210 描点并将它们用光滑的曲线连接起来如图所示:1.画余弦函数的图像,与画正弦函数图像的方法一样,关键要确定五个点.这五个点的坐标是(0,1),,(π,-1),,(2π,1).2.形如y=acosx+b,x∈[0,2π]的函数,也可由五点法画图像.练一练1.用“五点法”画出y=3+2cosx(x∈[0,2π])的图像.解:(1)列表x0π2πy=cosx10-101y=3+2cosx53135(2)描点,连线,如图所示:4、讲一讲2.(1)求下列函数的定义域.①y=; ②y=log(2cosx-).(2)求函数y=3-2cos(2x-),x∈的值域.[尝试解答] (1)①要使函数有意义,则有-cosx≥0,∴cosx≤.可得2kπ+≤x≤2kπ+,k∈Z.故所求函数的定义域为.②要使函数有意义,则有2cosx->0,∴cosx>,故所求定义域为.(2)∵≤x≤,∴0≤2x-≤.∵y=cosx在[0,π]上单调递减,∴-≤cos(2x-)≤1,∴1≤3-2cos(2x-)≤4,故函数的值域为[1,4].1.求三角函数的定义域,应归结为解三角5、不等式,其关键就是建立使函数有意义的不等式(组),利用三角函数的图像直观地求得解集.2.求三角函数的值域,要充分利用sinx和cosx的有界性,对于x有限制范围的,可结合图像求值域.练一练2.求函数y=3cos2x-4cosx+1,x∈的最值.解:y=3cos2x-4cosx+1=3(cosx-)2-.∵x∈,cosx∈,从而当cosx=-,即x=时,ymax=;当cosx=,即x=时,ymin=-.∴函数在区间上的最大值为,最小值为-.讲一讲3.(1)判断函数f(x)=cos(π-x)-xcos(-x)的奇偶性.(6、2)求函数y=cos(-x)的单调减区间.[尝试解答] (1)∵f(x)=cos(π-x)-xcos(-x)=-cosx-xsinx,∴f(-x)=-cos(-x)-(-x)sin(-x)=-cosx-xsinx=f(x).∴函数f(x)是偶函数.(2)y=cos(-x)=cos(x-),令2kπ≤x-≤π+2kπ(k∈Z),得+2kπ≤x≤+2kπ(k∈Z).∴函数y=cos的单调减区间是k∈Z.1.判断三角函数的奇偶性,首先要观察定义域是否关于原点对称,在定义域关于原点对称的前提下,再根据f(-x)与f(x)的关系确7、定奇偶性.2.确定三角函数的单调区间,在理解基本三角函数的单调性的前提下,运用整体代换的思想求解.练一练3.比较下列各组值的大小.(1)cos与cos;(2)sin194°与cos160°.解:(1)cos=cos=cos=-cos.而cos=-cos∵0<<<.∴cos>cos.∴coscos76°,∴-cos20°<8、-cos76°,∴sin194°>cos160°.函数y=2cosx(0≤x≤2π)的图像和直线y=2围成一个封闭的平面图形,则这个封闭图形的面积是( )A.4 B.8C.2πD.4π[解析] 法一:作出函数y=2cosx,x∈[0,2π]的图像,函数y=2cosx,x∈[0,2π]的图像与直线y=2
3、出函数y=1-cosx,x∈[0,2π]的图像.[尝试解答] 按五个关键点列表:x0π2πy01210 描点并将它们用光滑的曲线连接起来如图所示:1.画余弦函数的图像,与画正弦函数图像的方法一样,关键要确定五个点.这五个点的坐标是(0,1),,(π,-1),,(2π,1).2.形如y=acosx+b,x∈[0,2π]的函数,也可由五点法画图像.练一练1.用“五点法”画出y=3+2cosx(x∈[0,2π])的图像.解:(1)列表x0π2πy=cosx10-101y=3+2cosx53135(2)描点,连线,如图所示:
4、讲一讲2.(1)求下列函数的定义域.①y=; ②y=log(2cosx-).(2)求函数y=3-2cos(2x-),x∈的值域.[尝试解答] (1)①要使函数有意义,则有-cosx≥0,∴cosx≤.可得2kπ+≤x≤2kπ+,k∈Z.故所求函数的定义域为.②要使函数有意义,则有2cosx->0,∴cosx>,故所求定义域为.(2)∵≤x≤,∴0≤2x-≤.∵y=cosx在[0,π]上单调递减,∴-≤cos(2x-)≤1,∴1≤3-2cos(2x-)≤4,故函数的值域为[1,4].1.求三角函数的定义域,应归结为解三角
5、不等式,其关键就是建立使函数有意义的不等式(组),利用三角函数的图像直观地求得解集.2.求三角函数的值域,要充分利用sinx和cosx的有界性,对于x有限制范围的,可结合图像求值域.练一练2.求函数y=3cos2x-4cosx+1,x∈的最值.解:y=3cos2x-4cosx+1=3(cosx-)2-.∵x∈,cosx∈,从而当cosx=-,即x=时,ymax=;当cosx=,即x=时,ymin=-.∴函数在区间上的最大值为,最小值为-.讲一讲3.(1)判断函数f(x)=cos(π-x)-xcos(-x)的奇偶性.(
6、2)求函数y=cos(-x)的单调减区间.[尝试解答] (1)∵f(x)=cos(π-x)-xcos(-x)=-cosx-xsinx,∴f(-x)=-cos(-x)-(-x)sin(-x)=-cosx-xsinx=f(x).∴函数f(x)是偶函数.(2)y=cos(-x)=cos(x-),令2kπ≤x-≤π+2kπ(k∈Z),得+2kπ≤x≤+2kπ(k∈Z).∴函数y=cos的单调减区间是k∈Z.1.判断三角函数的奇偶性,首先要观察定义域是否关于原点对称,在定义域关于原点对称的前提下,再根据f(-x)与f(x)的关系确
7、定奇偶性.2.确定三角函数的单调区间,在理解基本三角函数的单调性的前提下,运用整体代换的思想求解.练一练3.比较下列各组值的大小.(1)cos与cos;(2)sin194°与cos160°.解:(1)cos=cos=cos=-cos.而cos=-cos∵0<<<.∴cos>cos.∴coscos76°,∴-cos20°<
8、-cos76°,∴sin194°>cos160°.函数y=2cosx(0≤x≤2π)的图像和直线y=2围成一个封闭的平面图形,则这个封闭图形的面积是( )A.4 B.8C.2πD.4π[解析] 法一:作出函数y=2cosx,x∈[0,2π]的图像,函数y=2cosx,x∈[0,2π]的图像与直线y=2
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