2018高考数学考点突破——不等式、推理与证明：二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题+word版含解析

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1、二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题【考点梳理】1．二元一次不等式(组)表示的平面区域不等式表示区域Ax＋By＋C>0直线Ax＋By＋C＝0某一侧的所有点组成的平面区域不包括边界直线Ax＋By＋C≥0包括边界直线不等式组各个不等式所表示平面区域的公共部分2.线性规划中的相关概念名称意义约束条件由变量x，y组成的不等式(组)线性约束条件由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式组目标函数关于x，y的函数解析式，如z＝2x＋3y等线性目标函数关于x，y的一次解析式可行解满足线性约束条件的解(x，y)可行域所有可行解组成的集合最优解使

2、目标函数取得最大值或最小值的可行解线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题【考点突破】考点一、二元一次不等式(组)表示的平面区域【例1】(1)若平面区域夹在两条斜率为1的平行直线之间，则这两条平行直线间的距离的最小值是(　　)A.　　　　　　　　B.C.D.(2)若不等式组表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围是(　　)A．a<5B．a≥7C．5≤a<7D．a<5或a≥7[答案](1)B　(2)C[解析](1)根据约束条件作出可行域如图阴影部分，当斜率为1的直线分别过A点和B点时满足条件，联立方程组求得A(

3、1,2)，联立方程组求得B(2,1)，可求得分别过A，B点且斜率为1的两条直线方程为x－y＋1＝0和x－y－1＝0，由两平行线间的距离公式得距离为＝，故选B.(2)如图，当直线y＝a位于直线y＝5和y＝7之间(不含y＝7)时满足条件，故选C.【类题通法】1.可用“直线定界、特殊点定域”的方法判定二元一次不等式表示的平面区域，若直线不过原点，特殊点常选取原点．2．不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的交集，画出图形后，面积关系结合平面几何知识求解．【对点训练】不等式组表示的平面区域的面积为__________．[答案]4

4、[解析]不等式组表示的平面区域为如图所示的阴影部分．由得∴A(0,2)，B(2,0)，C(8，－2)．直线x＋2y－4＝0与x轴的交点D的坐标为(4,0)．因此S△ABC＝S△ABD＋S△BCD＝×2×2＋×2×2＝4.考点二、简单的线性规划问题【例2】(1)若x，y满足约束条件则z＝x－2y的最小值为________．(2)已知实数x，y满足且数列4x，z，2y为等差数列，则实数z的最大值是__________．[答案](1)－5　(2)3[解析](1)不等式组表示的可行域如图阴影部分所示．由z＝x－2y得y＝x－z.平移直线y＝

5、x，易知经过点A(3,4)时，z有最小值，最小值为z＝3－2×4＝－5.(2)在平面直角坐标系内画出题中的不等式组表示的平面区域为以，，(1,1)为顶点的三角形区域(包含边界)，又由题意易得z＝2x＋y，所以当目标函数z＝2x＋y经过平面区域内的点(1,1)时，z＝2x＋y取得最大值zmax＝2×1＋1＝3.]【例3】(1)若变量x，y满足则x2＋y2的最大值是(　　)A．4B．9C．10D．12(2)若变量x，y满足约束条件则z＝的取值范围是__________．[答案](1)C　(2)[解析](1)作出不等式组表示的平面区域，如

6、图中阴影部分所示．x2＋y2表示平面区域内的点到原点距离的平方，由得A(3，－1)，由图易得(x2＋y2)max＝

7、OA

8、2＝32＋(－1)2＝10.故选C.(2)作出不等式组所表示的区域，如图中△ABC所表示的区域(含边界)，其中点A(1,1)，B(－1，－1)，C.z＝表示△ABC区域内的点与点M(2,0)的连线的斜率，显然kMA≤z≤kMB，即≤z≤，化简得－1≤z≤.【例4】已知x，y满足约束条件若目标函数z＝y－mx(m>0)的最大值为1，则m的值是(　　)A．－　　　B．1C．2D．5[答案]B[解析]作出可行域，如图所

9、示的阴影部分．∵m>0，∴当z＝y－mx经过点A时，z取最大值，由解得即A(1,2)，∴2－m＝1，解得m＝1.故选B.【类题通法】1.求目标函数的最值的一般步骤为：一作图、二平移、三求值．其关键是准确作出可行域，理解目标函数的意义．2．常见的目标函数有：(1)截距型：形如z＝ax＋by.求这类目标函数的最值时常将函数z＝ax＋by转化为直线的斜截式：y＝－x＋，通过求直线的截距的最值间接求出z的最值．(2)距离型：形如z＝(x－a)2＋(y－b)2.(3)斜率型：形如z＝.【对点训练】1．若x，y满足则2x＋y的最大值为(　　)A

10、．0　　　　B．3　　　　C．4　　　　D．5[答案]C[解析]根据题意作出可行域如图阴影部分所示，平移直线y＝－2x，当直线平移到虚线处时，目标函数取得最大值，由可得A(1,2)，此时2x＋y取最大值为2×1＋2＝4.2．已知实数x