《2.5 圆锥曲线的统一定义》 同步练习2

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1、《2.5圆锥曲线的统一定义》同步练习)1．若直线ax－y＋1＝0经过抛物线y2＝4x的焦点，则实数a＝______．解析　焦点为(1，0)，代入直线方程，可得a＝－1.答案　－12．已知椭圆的准线方程为y＝±4，离心率为，则椭圆的标准方程为____________．解析　由，解得.所以b2＝a2－c2＝3，所以椭圆的标准方程为＋＝1.答案　＋＝13．双曲线3x2－y2＝9，P是双曲线上一点，则P点到右焦点的距离与P点到右准线的距离之比等于________．解析　由统一定义，所求距离之比即为双曲线的离心率．双曲线方程可化为－＝1，得a2＝3，b2＝9，c2＝a2＋b2＝12，所以e＝＝＝2

2、.答案　24．椭圆＋＝1上一点P到左焦点F1的距离为3，则点P到左准线的距离为________．解析　依题意e＝，所以点P到左准线的距离d＝＝5.答案　55．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为，右准线方程为x＝，则双曲线方程为__________．解析　由，得，所以b2＝3－1＝2.所以双曲线方程为x2－＝1.答案　x2－＝16．已知双曲线的渐近线方程为3x±4y＝0，一条准线方程为y＝，求该双曲线的标准方程．解　由已知可设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)．由题意有，解得.所以所求双曲线方程为－＝1.综合提高　(限时30分钟)7．已知抛物线y2＝2px的准线与双曲线x

3、2－y2＝2的左准线重合，则抛物线的焦点坐标为________．解析　双曲线的左准线为x＝－1，抛物线的准线为x＝－，所以＝1，所以p＝2.故抛物线的焦点为(1，0)．答案　(1，0)8．已知点P在椭圆＋＝1上，F1、F2是椭圆的上、下焦点，M是PF1的中点，OM＝4，则点P到下准线的距离为________．解析　因为OM是△F1F2P的中位线，所以PF2＝2OM＝8.又e＝，所以P到下准线的距离d＝＝8×＝.答案　9．若双曲线－＝1(a>0，b>0)上横坐标为的点到右焦点的距离大于它到左准线的距离，则双曲线的离心率的取值范围是________．解析　由已知得(－)e>＋，即3c2>5a

4、c＋2a2，所以3e2－5e－2>0，解得e>2或e<－(舍去)．答案　(2，＋∞)10．在给定的椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为，焦点到相应的准线的距离为1，则椭圆的离心率为________．解析　设椭圆的方程为＋＝1，则右焦点F(c，0)，右准线l：x＝.把x＝c代入椭圆的方程得y2＝b2(1－)＝，即y＝±.依题设知＝且－c＝＝1，所以e＝＝·＝×1＝.答案　11．已知双曲线过点(3，－2)，且与椭圆4x2＋9y2＝36有相同的焦点．(1)求双曲线的标准方程；(2)求以双曲线的右准线为准线的抛物线的标准方程．解　(1)椭圆的焦点为(，0)，(－，0)，它也是双曲线的焦点．设双曲线

5、的标准方程为－＝1(a>0，b>0)．则由题设得，解得.所以双曲线的标准方程为－＝1.(2)由(1)可知双曲线的右准线为x＝＝.它也是抛物线的准线，所以＝，故抛物线的方程为y2＝－x.12．设椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，离心率e＝，点F2到右准线l的距离为.(1)求a、b的值；(2)设M、N是l上的两个动点，·＝0，证明：当

6、

7、取最小值时，＋＋＝0.(1)解　因为e＝，F2到l的距离d＝－c，所以由题设得解得c＝，a＝2.由b2＝a2－c2＝2，得b＝.故a＝2，b＝.(2)证明　由c＝，a＝2得F1(－，0)，F2(，0)，l的方程为x＝2，故可设M(2，y1

8、)，N(2，y2)．由·＝0知(2＋，y1)·(2－，y2)＝0，得y1y2＝－6，所以y1y2≠0，y2＝－.

9、

10、＝

11、y1－y2

12、＝

13、y1＋

14、＝

15、y1

16、＋≥2，当且仅当y1＝±时，上式取等号，此时y2＝－y1，所以，＋＋＝(－2，0)＋(，y1)＋(，y2)＝(0，y1＋y2)＝0.13．(创新拓展)已知椭圆C的两个焦点为F1(1，0)、F2(－1，0)，抛物线y2＝－16x的准线是椭圆C的一条准线，且P(1，－1)为椭圆内一定点．(1)求椭圆C的方程；(2)在椭圆C上求一点M，使得MP＋2MF1最小．解　(1)抛物线y2＝－16x的准线为x＝4，它也是椭圆C的一条准线，所以有，得a2

17、＝4，b2＝a2－c2＝4－1＝3，所以椭圆C的方程为＋＝1.(2)椭圆＋＝1的离心率e＝.由M点向准线引垂线，设垂足为N.由统一定义，MN＝2MF1，所以MP＋2MF1＝MP＋MN.当P、M、N三点共线时，MP＋MN最小，此时点M的纵坐标与点P的纵坐标相同，为－1，代入椭圆方程可求得此时M(，－1)．