《2.5 圆锥曲线的统一定义》导学案

《《2.5 圆锥曲线的统一定义》导学案》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、《2.5圆锥曲线的统一定义》导学案教学过程一、问题情境我们知道，平面内到一个定点F的距离和到一条定直线l(F不在l上)的距离的比等于1的动点P的轨迹是抛物线.当这个比值是一个不等于1的常数时，动点P的轨迹又是什么曲线呢？二、数学建构问题1　试探讨这个常数分别是和2时，动点P的轨迹.方案1　利用尺规作出几个特殊的点，从而猜想轨迹.方案2　利用几何画板制作课件演示.可以得到:当常数是时，动点P的轨迹是椭圆；当常数是2时，动点P的轨迹是双曲线.[1]问题2　由上面问题的解决，同学可以猜想得出什么样的结论？解　平面内到

2、一个定点F的距离和到一条定直线l(F不在l上)的距离的比等于e的动点P的轨迹是圆锥曲线.当01时，它表示双曲线；当e=1时，它表示抛物线.问题3　以上的结论是否正确呢？如何证明？解　当e=1时，结论在抛物线标准方程的推导中已经得到证明，那么其他两种情况如何通过方程来证明呢？(思考片刻继续引导)关键在于如何建立坐标系才能使得轨迹的方程为标准方程.(思考片刻继续引导)请同学们阅读教材第55页的思考后回答下面问题.问题4　当0

3、？解　建立适当的平面直角坐标系，使定点F(c，0)，定直线l的方程为x=.设点P(x，y)，则==e，化简得(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2)(*).因为e=∈(0，1)，所以a2-c2>0，所以可令b2=a2-c2，这样方程(*)可化为+=1(a>b>0).这就证明了，当0c>0)时，这个点的轨迹是椭圆，方程为+=1(a>b>0，b2=a2-c2)，这个常数就是椭圆的离心率.类似地，我

4、们可以得到:当点P到定点F(c，0)的距离和它到定直线l:x=的距离的比是常数(c>a>0)时，这个点的轨迹是双曲线，方程为-=1(a>0，b>0，其中b2=c2-a2)，这个常数就是双曲线的离心率.这样，圆锥曲线可以统一定义为平面内到一个定点F和到一条定直线l(F不在l上)的距离的比等于常数e的点的轨迹.当01时，它表示双曲线；当e=1时，它表示抛物线.其中e是圆锥曲线的离心率，定点F是圆锥曲线的焦点，定直线l是圆锥曲线的准线.由前面的研究可知:点F(c，0)，直线l:x=分别为

5、椭圆+=1(a>b>0)的焦点、准线；点F(c，0)，直线l:x=分别为双曲线-=1(a>0，b>0)的焦点、准线.根据图形的对称性可知，椭圆和双曲线都有两条准线，中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆+=1(a>b>0)或双曲线-=1(a>0，b>0)，与焦点F1(-c，0)，F2(c，0)对应的准线方程分别为x=-，x=.三、数学运用【例1】　求下列曲线的焦点坐标、准线方程:(1)25x2+16y2=400；　(2)x2-8y2=32；(3)y2=16x.[2][处理建议]　引导学生将曲线方程转化为标准形式，再

6、让学生根据定义求解.[规范板书]　解　(1)由25x2+16y2=400，得+=1，因此此椭圆的焦点在y轴上，且a=5，b=4，所以c==3，故曲线25x2+16y2=400的焦点坐标为(0，±3)，准线方程为y=±.(2)由x2-8y2=32，得-=1，因此此双曲线的焦点在x轴上，且a=4，b=2，所以c==6，故曲线x2-8y2=32的焦点坐标为(±6，0)，准线方程为x=±.(3)由y2=16x，得p=8，故曲线y2=16x的焦点坐标为(4，0)，准线方程为x=-4.[题后反思]　要求圆锥曲线的准线方程、

7、焦点坐标，必须先将曲线方程化为标准形式.变式　已知椭圆+=1的一条准线方程为y=，求实数m的值.[规范板书]　解　由题意可知，a2=m(m>9)，b2=9，所以c=.由一条准线方程为y=可知=，解得m=25或m=.【例2】　已知椭圆+=1上一点P到右准线的距离是2b，求点P到椭圆左焦点的距离.[3][处理建议]　引导学生根据圆锥曲线的统一定义，将点到准线的距离转化为其到相应焦点的距离.[规范板书]　解法一　由题意知，该椭圆的左、右焦点分别是(-b，0)，(b，0)，离心率为.设该椭圆的左、右焦点分别为F1，F2

8、，则由圆锥曲线的统一定义可知，=，所以PF2=3b.由椭圆的定义可知，PF1=4b-3b=b，即该点到椭圆左焦点的距离为b.解法二　由题意知，该椭圆的左、右焦点分别是(-b，0)，(b，0)，离心率为.设该椭圆的左、右焦点分别为F1，F2.因为椭圆两准线间的距离为b，所以P到左准线的距离为b，则由圆锥曲线的统一定义可知，=，所以PF1=b，即该点到椭圆左焦点的距离为b.[题后反思]　椭