第2章 《圆锥曲线与方程-2.5》 同步练习

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1、第2章《圆锥曲线与方程-2.5》同步练习一、填空题1．若椭圆＋＝1上的点P到左焦点的距离为6，则点P到右准线的距离为________．【解析】　∵，∴PF2＝4，∵＝e＝.∴d＝PF2×＝4×＝5.【答案】　52．(2013·江门高二检测)如果双曲线－＝1上的一点P到左焦点的距离是10，那么P到左准线的距离为________．【解析】　由双曲线方程知a2＝16，b2＝9，故c2＝25，所以e＝，由圆锥曲线的统一定义知，P到左准线的距离为10×＝8.【答案】　83．已知动点P(x，y)满足10＝

2、3x＋4y

3、，则P点的轨迹是________．【解析】　由10＝

4、3x＋4y

5、

6、得＝，即点P(x，y)到点(1，2)的距离与点P到直线3x＋4y＝0的距离的比值为.【答案】　椭圆4．已知如图2－5－2，椭圆中心在原点，F是焦点，A为顶点，准线l交x轴于点B，点P、Q在椭圆上且PD⊥l于D，QF⊥AO，则椭圆的离心率是①；②；③；④；⑤.其中正确的个数是________个．图2－5－2【解析】　根据共同性质①②④均为离心率e，根据圆锥曲线的统一定义e＝＝，⑤对；又∵＝＝＝e，∴③也对．∴①②③④⑤均为e.【答案】　①②③④⑤5．(2013·南京高二检测)已知椭圆＋y2＝1(a＞0)的一条准线与抛物线y2＝－10x的准线重合，则椭圆的离心率为____

7、____．【解析】　抛物线y2＝－10x的准线方程是x＝.由题意知椭圆＋y2＝1的一条准线方程为x＝，即右准线方程为x＝，故＝，∴a2＝c，∵b＝1，∴c2＋1＝c，解得c1＝2，c2＝.当c＝2时，a2＝c＝5，a＝，∴e＝；当c＝时，a2＝c＝，a＝，∴e＝.【答案】　或6．点P与定点A(2，0)的距离和它到定直线x＝8的距离的比是1∶2，则点P的轨迹方程为________．【解析】　设P(x，y)，则＝.化简，得＋＝1.∴P点的轨迹方程为＋＝1.【答案】　＋＝17．(2013·无锡高二检测)若椭圆＋＝1内有一点P(1，－1)，F为右焦点，椭圆上有一点M，使

8、MP

9、

10、＋2

11、MP

12、的值最小，则点M的坐标为________．【解析】　把2

13、MF

14、转化为M到右准线的距离d，数形结合可知，使

15、MP

16、＋d取得最小值的点M即为直线y＝－1与椭圆在y轴右侧的交点．【答案】　(，－1)8．已知椭圆＋＝1内部的一点为A(1，)，F为右焦点，M为椭圆上一动点，则MA＋MF的最小值为________．【解析】　设M到右准线的距离为d，由圆锥曲线的共同性质知＝，∴d＝MF.∴MA＋MF＝MA＋d.由A向右准线作垂线，垂线段长MA＋d≥2－1，即MA＋MF的最小值为2－1.【答案】　2－1二、解答题9．已知椭圆的对称轴为坐标轴，对称中心为原点，离心率为，两条

17、准线间的距离为4，求此椭圆的方程．【解】　由题意得，解得a＝，c＝1，所以b＝＝1，所以椭圆的方程为＋y2＝1或＋x2＝1.10．(2013·宿迁高二检测)已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的右准线l2与一条渐近线l交于点P，F是双曲线的右焦点．(1)求证：PF⊥l；(2)若

18、PF

19、＝3，且双曲线的离心率e＝，求该双曲线方程．【证明】　(1)右准线为l2：x＝，由对称性不妨设渐近线l为y＝x，则P(，)，又F(c，0)，∴kPF＝＝－.又∵kl＝，∴kPF·kl＝－·＝－1.∴PF⊥l.(2)∵

20、PF

21、的长即F(c，0)到l：bx－ay＝0的距离，∴＝3，即b＝3.又e

22、＝＝，∴＝，∴a＝4.故双曲线方程为－＝1.11．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，过F且斜率为的直线交C于A，B两点，若＝4，求C的离心率．【解】　如图所示，设双曲线C：－＝1的右准线为l，过A，B分别作AM⊥l于M，BN⊥l于N，BD⊥AM于D，由直线AB的斜率为，知直线AB的倾斜角为60°，∴∠BAD＝60°，AD＝AB.由圆锥曲线的统一定义得，AM－BN＝AD＝(

23、

24、－

25、

26、)＝AB＝(

27、

28、＋

29、

30、)．又＝4，∴·3

31、

32、＝

33、

34、，∴e＝.