第2章 《圆锥曲线与方程-2.3-2.3.1》 同步练习

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1、第2章《圆锥曲线与方程-2.3-2.3.1》同步练习一、填空题1．双曲线－＝1的焦点坐标为________．【解析】　∵c2＝a2＋b2＝25，∴焦点坐标为(±5，0)．【答案】　(±5，0)2．k＜2是方程＋＝1表示双曲线的________条件．【解析】　∵k＜24－k＞0，k－2＜0＋＝1表示双曲线，(4－k)(k－2)＜0k＜2或k＞4，∴为充分不必要条件．【答案】　充分不必要3．(2013·无锡高二检测)双曲线的焦点在x轴上，且a＋c＝9，b＝3，则双曲线的标准方程为_______

2、_．【解析】　∵a＋c＝9，b＝3，c2－a2＝9，解得a＝4.∵双曲线的焦点在x轴上，∴双曲线的标准方程为－＝1.【答案】　－＝14．方程＋＝1表示曲线C，给出以下命题：①曲线C不能为圆；②若曲线C为椭圆，则1＜t＜4；③若曲线C为双曲线，则t＜1或t＞4；④若曲线C为焦点在x轴上的椭圆，则1＜t＜.其中，真命题的序号是________．(写出所有正确命题的序号)【解析】　①若为圆，则4－t＝t－1＞0，∴t＝时为圆；②若为椭圆，则∴1＜t＜4且t≠；③若为双曲线，则(4－t)(t－1)＜0，

3、∴t＜1或t＞4；④若为焦点在x轴上的椭圆，则4－t＞t－1＞0，∴1＜t＜.【答案】　③④5．若点P到点(0，－3)与到点(0，3)的距离之差为2，则点P的轨迹方程为________．【解析】　由题意结合双曲线的定义可知点P的轨迹方程为双曲线的上支，且c＝3，2a＝2，a＝1，b2＝9－1＝8，所以点P的轨迹方程为y2－＝1(y≥1)．【答案】　y2－＝1(y≥1)6．(2013·盐城高二检测)设F1、F2是双曲线－y2＝1的两个焦点，点P在双曲线上，且·＝0，则PF1·PF2＝_______

4、_．【解析】　·＝0PF1⊥PF2，设PF1＝m，PF2＝n，则m2＋n2＝4c2＝20，又

5、m－n

6、＝4(m－n)2＝16，∴2mn＝20－16＝4，∴mn＝2.【答案】　27．(2013·张家港高二检测)过双曲线－＝1(a>0，b>0)的焦点F1的弦AB长为m，另一焦点为F2，则△ABF2的周长为________．【解析】　根据双曲线的定义，设F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，则AF2－AF1＝2a，BF2－BF1＝2a.∴AF2＋BF2－(AF1＋BF1)＝4a，∴AF2＋BF2－A

7、B＝4a，∴AF2＋BF2＋AB＝4a＋2AB＝4a＋2m.∴△ABF2的周长为4a＋2m.【答案】　4a＋2m8．已知F是双曲线－＝1的左焦点，A(1，4)，P是双曲线右支上的动点，则PF＋PA的最小值为________．【解析】　如图所示，设双曲线的右焦点为E，则由双曲线的定义及标准方程得PF－PE＝4，则PF＋PA＝4＋PE＋PA.由图可得当A，P，E三点共线时，(PE＋PA)min＝AE＝5，从而PF＋PA的最小值为9.【答案】　9二、解答题9．求以椭圆＋＝1短轴的两个顶点为焦点，且过点

8、A(4，－5)的双曲线的标准方程．【解】　由＋＝1得，短轴两顶点坐标为(0，±3)，并且为双曲线的焦点又双曲线过A点，由双曲线定义得2a＝－＝2，得a＝，又c＝3，从而b2＝c2－a2＝4.又焦点在y轴上，所以双曲线标准方程为－＝1.10．已知点P在双曲线－＝1上，它的横坐标与双曲线右焦点的横坐标相同，求点P到双曲线左焦点的距离．【解】　所给的双曲线方程是标准方程，则可得a2＝16，b2＝12，从而c2＝a2＋b2＝28，所以c＝2，故左、右焦点坐标分别为F1(－2，0)，F2(2，0)．由于点

9、P的横坐标与双曲线右焦点的横坐标相同，故xP＝2，代入双曲线方程得－＝1，则yP＝±3，故P点坐标为(2，3)或(2，－3)．从而PF1＝＝11或PF1＝＝11.即点P与双曲线的左焦点的距离为11.11．设双曲线－＝1，F1、F2是其两个焦点，点M在双曲线上．(1)若∠F1MF2＝90°，求△F1MF2的面积；(2)若∠F1MF2＝60°时，△F1MF2的面积是多少？若∠F1MF2＝120°时，△F1MF2的面积又是多少？【解】　(1)由双曲线方程知a＝2，b＝3，c＝.由题意知在△F1MF2中

10、，∠F1MF2＝90°.设MF1＝r1，MF2＝r2(r1>r2)．由双曲线定义得r1－r2＝2a＝4，两边平方得r＋r－2r1r2＝16.即F1F－4S△F1MF2＝16，即4S△F1MF2＝52－16＝36，∴S△F1MF2＝9.(2)若∠F1MF2＝60°，在△MF1F2中，由余弦定理得F1F＝r＋r－2r1r2cos60°，F1F＝(r1－r2)2＋r1r2，∴r1r2＝36.则S△F1MF2＝r1r2sin60°＝9.同理，若∠F1MF2＝120°，S△F1MF2＝3.