数列通项问题

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1、数列的通项问题数列的通项公式决定了数列的生成规律，刻画了数列的变化规律，因此数列的通项公式是数列的核心与灵魂．数列的递推关系也间接决定了数列的通项公式，本人结合近几年高考数列试题，将利用数列递推关系确定通项公式的常规方法分类汇总．考点一：已知数列相邻两项的递推关系，求数列的通项公式例1.已知数列,,求.变式1.数列,,求.变式2.数列,,求.例2.数列,,求.变式．已知数列，满足a1=1，(n≥2)，则11的通项例3．已知数列满足求数列的通项公式；例4．已知数列{}中，，.求数列变式．设为常数，且，求例5．在数列中，，其中．求数列的通项公式；11例6．在数列中，（I）设，求数列的通项公式;（

2、II）求数列的前项和例7.已知数列的首项，，．求的通项公式；变式1．已知数列满足，，求数列的通项公式.例8.（06江西22）已知数列满足：a1＝，且an＝，求数列的通项公式；变式1.在数列{an}中，a1=1，an+1=，求an.11例9。（10全国）已知数列中，.设，求数列的通项公式。变式2．已知a1=2，点(an,an+1)在函数f(x)=x2+2x的图象上，其中(1)证明数列｛lg(1+an)｝是等比数列；(2)求数列的通项；变式3.已知数列满足：，则考点二：已知数列相邻三项的递推关系，求数列的通项公式例1.（06福建22）已知数列满足求数列的通项公式；变式1：已知数列满足求11例2．

3、设数列的前项和为已知（I）设，证明数列是等比数列；（II）求数列的通项公式。数列的通项问题数列的通项公式决定了数列的生成规律，刻画了数列的变化规律，因此数列的通项公式是数列的核心与灵魂．数列的递推关系也间接决定了数列的通项公式，本人结合近几年高考数列试题，将利用数列递推关系确定通项公式的常规方法分类汇总．考点一：已知数列相邻两项的递推关系，求数列的通项公式例1.已知数列,,求.解法1.累加（略）解法2.由有：变式1.数列,,求.解法1.由有，累加得解法2.由有，累乘得变式2.数列,,求.解法1.，数列为首项为，公差为的等差数列。易得.11解法2.略【一般规律】注意到任意数列的恒等式：，把原递

4、推关系式转化为，只要可以求和，就能利用迭加法(逐差相加法)求得数列的通项公式．例2.数列,,求.解法1.累乘得解法2.，得变式1.已知数列满足：,,求.解：变式2．已知数列，满足a1=1，(n≥2)，则的通项【解析】由已知，得，用此式减去已知式，得当时，，即，又，，将以上n个式子相乘，得.【一般规律】注意到任意数列的恒等式：，把原递推关系式转化为，只要可以求积，就能利用迭乘法(逐商相乘法)求得数列的通项公式．例3．已知数列满足求数列的通项公式；解：是以为首项，2为公比的等比数列即解：由，有累加11，得【一般规律】把原递推关系式为，利用待定系数法转化为，其中为特征方程的根，再利用等比数列求解.

5、这种方法称之为构造辅助等比数列.例4．已知数列{}中，，.求数列【解析】依题有，即，可变形为，可知数列是以为首项，为公比的等比数列。从而变式1.已知数列数列中，变式2．设为常数，且，求【解析】方法一：(构造辅助数列——整体代换)设可解出.所以是公比为－2，首项为的等比数列.即方法二：(构造辅助数列——同除消元)由得：，即，整理得：，所以数列为以为首项，为公比的等比数列．11于是，即例5．在数列中，，其中．求数列的通项公式；【解析】由，，可得，所以为等差数列，其公差为1，首项为0，故，所以数列的通项公式为．例6．在数列中，（I）设，求数列的通项公式;（II）求数列的前项和分析：（I）由已知有利

6、用累差迭加即可求出数列的通项公式:()（II）由（I）知,=而,又是一个典型的错位相减法模型，易得=例10.已知数列的首项，，．求的通项公式；11解：，，，又，是以为首项，为公比的等比数列．，．变式1．已知数列满足，，求数列的通项公式.解：由，有即当时，易得当时，易得例11.（06江西22）已知数列满足：a1＝，且an＝，求数列的通项公式；解：将条件变为：，因此为一个等比数列，其首项为，公比，从而，据此得.变式1.在数列{an}中，a1=1，an+1=，求an.剖析：将递推关系式变形，观察其规律.解：原式可化为－=n，∴－=1，－=2，－=3，…，－=n－1.相加得－=1+2+…+（n－1）

7、，∴an=.评析：求数列通项公式，特别是由递推公式给出数列时，除迭加、迭代、迭乘外还应注意变形式是否是等差（等比）数列.对于数列递推公式不要升温，只要能根据递推公式写出数列的前几项，由此来猜测归纳其构成规律.例12。（10全国）已知数列中，.设11，求数列的通项公式。变式2．已知a1=2，点(an,an+1)在函数f(x)=x2+2x的图象上，其中(1)证明数列｛lg(1+an)｝是等比数列；(2)求数列的通