几何证明选讲1

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1、直角三角形的射影定理选修4-1相关定理直角三角形的射影定理直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项.两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的比例中项.ABCD证明原理：相似三角形对应边成比例练习圆周角定理选修4-1相关定理CDF圆心角：如∠BOA圆内角：如∠BCA圆周角：如∠BDA圆外角：如∠BFA角的顶点在圆周上是否顶点在圆周上的角就是圆周角呢?圆心角、圆周角、圆内(外)角圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角.化归化归圆周角定理分类讨论完全归纳法圆周角定理、圆心角定理一条弧所对的圆

2、周角等于它所对的圆心角的一半圆心角的度数等于它所对弧的度数.推论：圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半.圆周角定理推论推论1同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等.推论2半圆(或直径)所对的圆周角是90°；90°的圆周角所对的弦是直径.推论3如果三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形.OBADECDCEBFAODCEO1BFAO2比较∠ACB、∠ADB、∠AEB的大小如果弧AB＝弧CD，那么∠E和∠F是什么关系？反过来呢？⊙O1和⊙O2是等圆，若弧

3、AB＝弧CD，则∠E和∠F是什么关系？反过来呢？练习1.AD是ΔABC的高，AE是ΔABC的外接圆直径，求证：AB·AC＝AE·AD.2.如图，已知AB是⊙O的弦，半径OP⊥AB，弦PD交AB于C，求证：PA2＝PC·PDCDPBAOOCBADE3.如图，AB与CD交于圆内一点P，求证：弧AD的度数与弧BC的度数的和的一半等于∠APD的度数.CDBA4.ΔABC内接于⊙O，弧AB=弧AC，点D是BC弧上任意一点，AD=6cm，BD=5cm，CD=3cm，求DE的长.5.ΔABC中，AD、BD分别平分

4、∠BAC和∠ABC，延长AD交ΔABC的外接圆于E，连接BE，求证：BE=DE.6.ΔABC内接于⊙O，AD是⊙O的直径，CE⊥AD，E为垂足，CE的延长线交AB于点F，求证：AC2=AF·AB.圆内接四边形的性质与判定定理选修4-1相关定理圆内接四边形的性质定理定理1：圆的内接四边形的对角互补定理2：圆的内接四边形的外角等于它的内角的对角.CBADOEF∠D＋∠B＝180°∠A＋∠C＝180°∠EAB＝∠BCD∠FCB＝∠BAD对角互补外角内对角上述定理的逆命题是否成立？圆内接四边形的判定定理定

5、理：如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆.推论1：如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆.推论2：如果四边形一边上的两个顶点的视角相等，那么四边形的四个顶点共圆.证明原理：穷举法+反证法与圆周角定理有什么关系？BADCOP若∠ADB＋∠ABC＝180°，则ABCD四点共圆；若∠PAD=∠DCB，则ABCD四点共圆；若∠ADB=∠ACB，则ABCD四点共圆；练习1.⊙O1和⊙O2都经过A、B两点，经过A点的直线CD与⊙O1交于点C，与⊙O2交于点D，经过

6、B点的直线EF与⊙O1交于点E，与⊙O2交于点F，求证：CE∥DF.情况唯一吗？FEDCBAO2O1ECBAO2O1FD2.如图，CF是ΔABC的AB边上的高，FP⊥BC，FQ⊥AC，求证：ABPQ四点共圆.ABCFQP3.AD、BE是ΔABC的两条高，求证：∠CED=∠ABC.4.如图，已知四边形ABCD内接于圆，延长AB和DC相交于E，EG平分∠E，且与BC、AD分别相交于F、G，求证：∠CFG=∠DGF.5.如图，圆的直径AB⊥CD弦，在CD延长线上任取一点E，连接AE交圆于点F，连接CF，求

7、证：AC·EF＝DE·CF.6.如图，已知⊙O中，AB=CD，延长BA，DC相交于P点，E为弧BD上一点，CE交BD于F，求证：(1)PA=PC；(2)AB·EF＝BE·DF.7.如图，四边形ABCD中，AB、DC的延长线交于点E，AD，BC的延长线交于点F，∠AED、∠AFB的角平分线交于点M，且EM⊥FM，求证：四边形ABCD内接于圆.8.如图，已知⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，P是⊙O1上一点，PA、PB的延长线分别交⊙O2于点D、C，⊙O1的直径PE的延长线交CD于点M，求证：PM⊥CD

8、.9.如图，已知ΔADC中，∠D=90º，B是AD上一点，AB是⊙O的直径，E是CD上一点，AE交⊙O于G，AC交⊙O于F，求证：CFGE四点共圆.圆的切线的性质及判定定理选修4-1相关定理切线的性质定理切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径.推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点.推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.切线判定的方法利用切线定义利用圆心到直线的距离等于半径利用切线判断定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线实质为