2007年全国高中数学联合竞赛一试试题及参考答案

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1、2007年全国高中数学联合竞赛一试试题及参考答案 　　一、选择题(本题满分36分，每小题6分)　　1.如图，在正四棱锥P-ABCD中，∠APC=60°，则二面角A-PB-C的平面角的余弦值为()　　A.　　　　　　B.　　　　　　C.　　　　　　D.　　2.设实数a使得不等式

2、2x-a

3、+

4、3x-2a

5、≥a2对任意实数x恒成立，则满足条件的a所组成的集合是()　　A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.[-3，3]　　3.将号码分别为1、2、…、9的九个小球放入一个袋中，这些小球仅号码不同，其余完全相同.甲从袋中摸出一个球，其号码为a，放回后，乙从此袋中再摸出

6、一个球，其号码为b.则使不等式a-2b+10＞0成立的事件发生的概率等于()　　A.　　　　　B.　　　　　　C.　　　　　　D.　　4.设函数f(x)=3sinx+2cosx+1.若实数a、b、c使得af(x)+bf(x-c)=1对任意实数x恒成立，则的值等于()　　A.　　　　　B.　　　　　　C.-1　　　　　　D.1　　5.设圆O1和圆O2是两个定圆，动圆P与这两个定圆都相切，则圆P的圆心轨迹不可能是()　　6.已知A与B是集合{1，2，3，…，100}的两个子集，满足：A与B的元素个数相同，且为A∩B空集.若n∈A时总有2n+2∈B，则集合A∪B的元

7、素个数最多为()10　　A.62　　　　　　B.66　　　　　　C.68　　　　　　D.74　　二、填空题(本题满分54分，每小题9分)　　7.在平面直角坐标系内，有四个定点A(-3，0)，B(1，-1)，C(0，3)，D(-1，3)及一个动点P，则

8、PA

9、+

10、PB

11、+

12、PC

13、+

14、PD

15、的最小值为__________.　　8.在△ABC和△AEF中，B是EF的中点，AB=EF=1，BC=6，，若，则与的夹角的余弦值等于________.　　9.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，以顶点A为球心，为半径作一个球，则球面与正方体的表面相交所得到的曲线的

16、长等于__________.　　10.已知等差数列{an}的公差d不为0，等比数列{bn}的公比q是小于1的正有理数.若a1=d，b1=d2，且是正整数，则q等于________.　　11.已知函数，则f(x)的最小值为________.　　12.将2个a和2个b共4个字母填在如图所示的16个小方格内，每个小方格内至多填1个字母，若使相同字母既不同行也不同列，则不同的填法共有________种(用数字作答).　　三、解答题(本题满分60分，每小题20分)　　13.设，求证：当正整数n≥2时，an+1＜an.　　14.已知过点(0，1)的直线l与曲线C：交于两个

17、不同点M和N.求曲线C在点M、N处切线的交点轨迹.　　15.设函数f(x)对所有的实数x都满足f(x+2π)=f(x)，求证：存在4个函数fi(x)(i=1，2，3，4)满足：　　(1)对i=1，2，3，4，fi(x)是偶函数，且对任意的实数x，有fi(x+π)=fi(x)；10　　(2)对任意的实数x，有f(x)=f1(x)+f2(x)cosx+f3(x)sinx+f4(x)sin2x.2007年全国高中数学联合竞赛一试试题参考答案　　一、选择题(本题满分36分，每小题6分)　　1.如图，在正四棱锥P-ABCD中，∠APC=60°，则二面角A-PB-C的平面

18、角的余弦值为(B)　　A.　　　　　　B.　　　　　　C.　　　　　　D.　　解：如图，在侧面PAB内，作AM⊥PB，垂足为M.连结CM、AC，则∠AMC为二面角A-PB-C的平面角.不妨设AB=2，则，斜高为，故，由此得.在△AMC中，由余弦定理得.　　2.设实数a使得不等式

19、2x-a

20、+

21、3x-2a

22、≥a2对任意实数x恒成立，则满足条件的a所组成的集合是(A)　　A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.[-3，3]　　解：令，则有，排除B、D.由对称性排除C，从而只有A正确.　　一般地，对k∈R，令，则原不等式为，由此易知原不等式等价于，对任意的k∈R成立

23、.由于　　，10　　所以，从而上述不等式等价于.　　3.将号码分别为1、2、…、9的九个小球放入一个袋中，这些小球仅号码不同，其余完全相同.甲从袋中摸出一个球，其号码为a，放回后，乙从此袋中再摸出一个球，其号码为b.则使不等式a-2b+10>0成立的事件发生的概率等于(D)　　A.　　　　　　B.　　　　　　C.　　　　　　D.　　解：甲、乙二人每人摸出一个小球都有9种不同的结果，故基本事件总数为92=81个.由不等式a-2b+10＞0得2b＜a+10，于是，当b=1、2、3、4、5时，每种情形a可取1、2、…、9中每一个值，使不等式成立，则共有9×5=45种

24、；当b=6时，a可取3、4、…、9中每