资源描述：
《递推数列通项公式题根研究》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、递推数列通项公式题根研究［题根］数列｛%｝满足q=l,a”+i=2a“+l,求通项公式％。［分析］此为an+x=pan+q(p^l)型递推数列,构造新数列,转化成等比数列求解。［解答］在色+严2an+1两边加1,得％+1=2(an+1),则数列［an+1｝是首项为2,公比为2的等比数列，得色+1=2・2心,即an=2-2n~1-l=2n-l为所求。［规律小结］an+i=pan+q(p^l)型递推数列,当p=l时,数列为等差数列；当q=时，数列为等比数列。当°工1时，一定存在a满足a=pa+q,从ifij得a=厲，此为函数f(x)=px+q的1-卩不动点。由an+［-a=pan+q-｛pa-
2、irq)=p(an-a),得｛q-a｝是首项为a^-a,公比为p的等比数列，于是atl-a=(ai-a)p,1-',即an=a+(al-a)pn-',将a=-^—代入上式，得通项公1一〃式为=—(%_[/)P"'•(#)pI-pa［变题1］数列｛色｝满足q=l,tzw+1=-,求通项公式％o2色+11iii1丫i［解答］将已知关系式取倒数得——=——+1,rh(#)式得一=2-一,所以色=——百色+i2q”(2丿2—2［规律小结］a沖=-型递推数列的通项公式的求法：令x=得旺=0或无=4为两不动点。由于一5—色+1一兀1ran+srx+sr1—，设仇=—，贝ij化亠[=_•hn+—,此为a
3、n+l-pan+g(p工1)色+1PanPanPP模型。同样，—1—色+1一兀2也可化为%+i=pa打+q(pHl)模型,由(#)式可求得陽。更为特殊的是p=s时，亠亠丄+色+】一西an+］an二设Phtl=—则｛仇｝是等差数列,故常取dan的倒数求解。®+P［变题2］(2006年江西理第22题)已知数列｛%｝满足4=二，an=—'na,'1——(n>2,/?eTV*),求22%+n-l通项公式％。"心n1M-12口门,1.2,,1zf1、「3［解答］"冇口=厂亍石+亍即贰亍几肓*T乜％厂訐又终右，2?得勺丁1,所以^=(--1)1-,得an=^~n3”一1［变题3］已知数列｛色｝中，w=
4、l,an+｝=an+——J——，求｛。”｝的通项公式。（n-）n［分析］将题中递推式变形色小-J=——-丄，利用错位相消法。n-［解答］将题中递推式表示为：色曲-％=丄7一丄，于是n一1n各式相加得•（d?—）+（。3—。2）+…（。川—。舁-1）=%—4，得通项公式为色二均+（1—丄）+（丄一丄）+•••+（）=1+1=2o"*223n-2n---［规律小结］对于an+｛=afl+f（n）型递推数列，设仇=%厂匕丿=1,2,…则称数列｛如是他｝差数列,n-1则勺+筠+・・・+仇_［=（。2-4）+（。3-。2）+…a-Q“-i）=4厂Q
5、，得Q“=Q
6、+工久.所以｛%｝的
7、通项Jt=l公式为％二如+工/伙）,（九》2）⑴.当n=l时，也满足⑴式。此法称为累加错位相消法。k=［变题4］数列｛©｝满足a、=2,an+｛=2an+2n-3,求。”。［分析］递推式两边同除以2w+,,经过变量替换，可化为an+i=alt+f（n）型递推式。［解答］在勺+严2色+2斤—3两边同除以2网，得些=〈+运2,令b严工,n2"中2"2并+H2”则几"”+勞，于是亍勞0=守=1.则咕1+齐牛丄k=1所以a二仇・2"—空二占・2“=2”j—16/1+8.”“2X［规律小结］对fan+l=pan+f（n（pHl）型递推数列，当f（n）是常数q时,即为模型an+i=pan+g（pH
8、1）。当f(n)是变量时，两边同除以］严=沙令咕沪⑺得hi=E+gG)求出也｝的通项公式,从而得a,m412［变题5］(2006年全国理第22题)设数列｛%｝前n项和为S”=-an-一x2?,+,+—,n=l,2,……，求通项色。412412［解答］Sn=—cin—x2""—=>吗=—d］—x2?—二>a〕=2。因为cin—Sn—5n_
9、(n>2),所以由333333题设得：an=(扌色一卜肝+彳)一中“-1一土心+彳)=>an=4%+2"=>务=黑"+务,即bn=bn-l+»=1-+，得Q—［规律小结］根据数列性质％二S”-S心5>2)可得出递推关系，然后再根据结构特征求通项公式。［变题
10、6］数列匕｝满足a严1,务严2乜，求通项公式陽。［分析］观察q与①、。2与。3存在的关系，思考解答方法。［解答］T色=2q,a3=2a2,a4=2a3,,an=2an_｝，各式相乘得an=2n~］=2f,~l«［规律小结］对于a曲=/(〃)％型递推式，1、若f(n)为常数，则｛色｝为等比数列。2、若f(n)为变数，通项公式求解方法如下：上匚=f(n-l),^L=fS_2),・..《=f(l).各式两边分别相乘G・・Ia.
