概率论 第八章方差分析与回归分析

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1、第八章方差分析与回归分析§8.1方差分析§8.2多重比较§8.3方差齐性分析§8.4一元线性回归§8.5一元非线性回归§8.1方差分析8.1.1问题的提出实际工作中我们经常碰到多个正态总体均值的比较问题，处理这类问题通常采用所谓的方差分析方法。例8.1.1在饲料养鸡增肥的研究中，某研究所提出三种饲料配方：A1是以鱼粉为主的饲料，A2是以槐树粉为主的饲料，A3是以苜蓿粉为主的饲料。为比较三种饲料的效果，特选24只相似的雏鸡随机均分为三组，每组各喂一种饲料，60天后观察它们的重量。试验结果如下表所示：表8.1.1鸡饲料试验数据饲料A鸡重（克）A11073100

2、9106010011002101210091028A21107109299011091090107411221001A310931029108010211022103210291048本例中，我们要比较的是三种饲料对鸡的增肥作用是否相同。为此，把饲料称为因子，记为A，三种不同的配方称为因子A的三个水平，记为A1,A2,A3，使用配方Ai下第j只鸡60天后的重量用yij表示，i=1,2,3,j=1,2,,10。我们的目的是比较三种饲料配方下鸡的平均重量是否相等，为此，需要做一些基本假定，把所研究的问题归结为一个统计问题，然后用方差分析的方法进行解决。8.1

3、.2单因子方差分析的统计模型在例8.1.1中我们只考察了一个因子，称其为单因子试验。通常，在单因子试验中，记因子为A,设其有r个水平，记为A1,A2,…,Ar，在每一水平下考察的指标可以看成一个总体，现有r个水平，故有r个总体，假定：每一总体均为正态总体，记为N(i,i2)，i＝1,2,…,r；各总体的方差相同:12=22=…=r2=2；从每一总体中抽取的样本是相互独立的，即所有的试验结果yij都相互独立。我们要比较各水平下的均值是否相同,即要对如下的一个假设进行检验:H0：1=2=…=r（8.1.1）备择假设为H1：1,2,…,r

4、不全相等在不会引起误解的情况下，H1通常可省略不写。如果H0成立，因子A的r个水平均值相同，称因子A的r个水平间没有显著差异，简称因子A不显著；反之，当H0不成立时，因子A的r个水平均值不全相同，这时称因子A的不同水平间有显著差异，简称因子A显著。为对假设（8.1.1）进行检验，需要从每一水平下的总体抽取样本，设从第i个水平下的总体获得m个试验结果，记yij表示第i个总体的第j次重复试验结果。共得如下n=rm个试验结果：yij，i＝1,2,…,r，j＝1,2,…,m,其中r为水平数，m为重复数，i为水平编号，j为重复编号。在水平Ai下的试验结果yij与该

5、水平下的指标均值i一般总是有差距的，记ij=yiji，ij称为随机误差。于是有yij=i+ij（8.1.2）（8.1.2）式称为试验结果yij的数据结构式。单因子方差分析的统计模型：（8.1.3）总均值与效应:称诸i的平均为总均值.称第i水平下的均值i与总均值的差:ai=i-为Ai的效应。模型（8.1.3）可以改写为(8.1.8)假设（8.1.1）可改写为H0：a1=a2=…=ar=0（8.1.9）8.1.3平方和分解一、试验数据通常在单因子方差分析中可将试验数据列成如下页表格形式。表8.1.2中的最后二列的和与平均的含义如下：表8

6、.1.2单因子方差分析试验数据因子水平试验数据和平均A1y11y12…y1mT1A2y21y22…y2mT2┆┆┆┆Aryr1yr2…yrmTrT数据间是有差异的。数据yij与总平均间的偏差可用yij表示，它可分解为二个偏差之和（8.1.10）记二、组内偏差与组间偏差由于（8.1.11）所以yij-仅反映组内数据与组内平均的随机误差，称为组内偏差；而（8.1.12）除了反映随机误差外，还反映了第i个水平的效应，称为组间偏差。在统计学中，把k个数据y1,y2,…,yk分别对其均值=(y1+…+yk)/k的偏差平方和称为k个数据的偏差平方和，它常用来度量若干

7、个数据分散的程度。三、偏差平方和及其自由度在构成偏差平方和Q的k个偏差y1,…,yk间有一个恒等式，这说明在Q中独立的偏差只有k1个。在统计学中把平方和中独立偏差个数称为该平方和的自由度，常记为f，如Q的自由度为fQ=k1。自由度是偏差平方和的一个重要参数。各yij间总的差异大小可用总偏差平方和表示，其自由度为fT=n1；四、总平方和分解公式仅由随机误差引起的数据间的差异可以用组内偏差平方和表示，也称为误差偏差平方和，其自由度为fe=nr；由于组间差异除了随机误差外，还反映了效应间的差异，故由效应不同引起的数据差异可用组间偏差平方和表示，也称为

8、因子A的偏差平方和，其自由度为fA=r1；定理8.1.1在上述符