第八章 方差分析与回归分析

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1、第八章方差分析与回归分析§8.1方差分析§8.2多重比较§8.3方差齐性分析§8.4一元线性回归§8.5一元非线性回归§8.1方差分析8.1.1问题的提出方差分析，是20世纪20年代由英国统计学家费希尔首先提出的。最初主要应用于生物和农业田间试验，以后推广到各个领域应用。它是直接对多个总体的均值是否相等进行检验，这样不但可以减少工作量，而且可以增加检验的稳定性。化工产品的数量和质量反应温度压　力原料成分原料剂量溶液浓度操作水平反应时间机器设备方差分析—根据试验的结果进行分析，鉴别各个有关因子(素)对试验结果的影响程度。目的—检验单个因子

2、的改变是否会给观察变量带来显著影响。水平例8.1.1在饲料养鸡增肥的研究中，某研究所提出三种饲料配方：A1是以鱼粉为主的饲料，A2是以槐树粉为主的饲料，A3是以苜蓿粉为主的饲料。为比较三种饲料的效果，特选24只相似的雏鸡随机均分为三组，每组各喂一种饲料，60天后观察它们的重量。试验结果如下表所示：饲料A鸡重（克）A110731009106010011002101210091028A21107109299011091090107411221001A310931029108010211022103210291048y25例8.1.28.1.

3、2单因子方差分析的统计模型设因子A有r个水平，记为A1,A2,…,Ar，每一水平下考察的指标可以看成一个总体，现有r个水平，故有r个总体，假定：每一总体均为正态总体,记为N(i,i2),i＝1,…,r；各总体的方差相同:12=22=…=r2=2；从每一总体中抽取的样本是相互独立的,即所有的试验结果yij都相互独立。问题：比较各水平下的均值是否相同建立假设：原假设：H0：1=2=…=r自变量对因变量没有显著影响,简称因子A不显著；备择假设：H1：1,2,…,r不全相等自变量对因变量有显著影响，简称因子A显著。注意：

4、拒绝原假设，只表明至少有两个总体的均值不相等，并不意味着所有的均值都不相等。其中r为水平数，m为重复数，yij中i为水平编号，j为重复编号。因子水平试验数据A1y11y12…y1mA2y21y22…y2m┆┆Aryr1yr2…yrm为对上述假设进行检验，需要从每一水平下的总体抽取样本，设从第i个水平下的总体获得m个试验结果，共得如下n=rm个试验结果：试验结果yij的数据结构式：yij=i+ij可控因素随机因素单因子方差分析的统计模型：总均值与效应:总均值假设改写为：H0：a1=a2=…=ar=0数学模型的等价形式：一、试验数据因

5、子水平试验数据和平均A1y11y12…y1mT1A2y21y22…y2mT2┆┆┆┆Aryr1yr2…yrmTrT8.1.3平方和分解数据间是有差异的。数据yij与总平均间的偏差可用yij表示，它可分解为二个偏差之和二、组内偏差与组间偏差组内偏差组间偏差记在统计学中，把k个数据y1,y2,…,yk分别对其均值=(y1+…+yk)/k的偏差平方和称为k个数据的偏差平方和.三、偏差平方和及其自由度构成偏差平方和Q的k个偏差y1,…,yk间有一个恒等式,这说明Q中独立的偏差只有k1个.在统计学中把平方和中独立偏差个数称为该平方和的自由

6、度，常记为f，如Q的自由度为fQ=k1。自由度是偏差平方和的一个重要参数.总偏差平方和自由度为fT=n1；四、总平方和分解公式组内偏差平方和仅由随机误差引起,也称误差偏差平方和,自由度为fe=nr；组间偏差平方和也称为因子A的偏差平方和，自由度为fA=r1.定理8.1.1在上述符号下，总平方和ST可以分解为因子平方和SA与误差平方和Se之和，其自由度也有相应分解公式，具体为：ST=SA+Se,fT=fA+fe通常称上式为总平方和分解式。均方和MS=Q/fQ；其意为平均每个自由度上有多少平方和，它比较好地度量了一组数据的离散程度；

7、因子均方和MSA=SA/fA；误差均方和MSe=Se/fe；检验H0的统计量：8.1.4检验方法拒绝域形式？定理8.1.2在单因子方差分析模型及前述符号下，有(1)Se/2~2(nr)，从而E(Se)＝(nr)2；(2)，进一步，若H0成立，则有SA/2~2(r1)；(3)SA与Se独立。由定理8.1.2，若H0成立，则检验统计量F服从自由度为fA和fe的F分布，因此拒绝域为W={FF1(fA,fe)}，通常将上述计算过程列成一张表格，称为方差分析表。来源平方和自由度均方和F比因子SAfA=r1MSA=SA/fA

8、F＝MSA/MSe误差Sefe=nrMSe=Se/fe总和STfT=n1对给定的，可作如下判断：如果FF1(fA,fe)，说明因子A不显著。如果F>F1(fA,fe)，认为因子A显著；常用的